Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика

Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция


ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ:

Величины называются прямо пропорциональными, когда при увеличении одной из них в какое-то количество раз, в это же количество раз увеличивается и другая. Аналогично при уменьшении одной из величин в какое-то количество раз, вторая уменьшается во столько же.

Например:

\(S = vt\)

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что скорость у нас всегда равна 5 км/ч. Тогда будем изменять только расстояние и время:

- Если время равно 1 ч, то расстояние будет равным:

\(S = 5 \bullet 1 = 5\)

- Увеличим время в 3 раза, получим, что время равно 3 ч, а расстояние:

\(S = 5 \bullet 3 = 15\)

Видим, что расстояние тоже увеличилась в 3 раза.

Тогда мы говорим, что в выражении \(S = vt\) величины S и tпрямо пропорциональные.

Аналогично можем поступить с расстоянием и скоростью, если время будет постоянной величиной. Расстояние и время, расстояние и скорость – прямо пропорциональные между собой, потому что имеют один вид. Такая формула называется – формулой прямой пропорциональности:

\(y = kx\)

где \(x,\ y\) – переменные пропорциональные величины, а \(k\ \)коэффициент пропорциональности

Если выразим k, получим, что:

\(k = \frac{y}{x}\)

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они прямо пропорциональны.

ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ:

Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в какое-то количество раз, вторая в это же количество раз уменьшается. И наоборот, если одна из величин в какое-то количество раз уменьшается, то вторая в это же количество раз увеличивается.

Например:

\(S = vt\)

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что расстояние у нас всегда равно 60 км. Тогда будем изменять только скорость и время. Выразим, например, скорость:

\(v = \frac{S}{t}\)

- Если время равно 1 ч, то скорость будет равна:

\(v = \frac{60}{1} = 60\)

- Увеличим время в 2 раза, то время будет равно 2 ч, а скорость:

\(v = \frac{60}{2} = 30\)

Видим, что при увеличении времени в 2 раза, скорость в 2 раза уменьшилась. Такие величины, как скорость и время в данном выражении, называются обратно пропорциональными.

Общая формула обратной пропорциональности выглядит так:

\(y = \frac{k}{x}\)

А коэффициент обратной пропорциональности находится перемножением обратно пропорциональных величин:

\(k = x \bullet y\)

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они обратно пропорциональны.

ПРОПОРЦИЯ:

Пропорция – это выражение, описывающее равенство отношений двух величин.

То есть, если \(\frac{a}{b} = k\) и \(\frac{c}{d} = k\), то пропорцией будет являться выражение:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

где \(k\) – коэффициент пропорциональности данной пропорции. Обычно пропорцию записывают без коэффициента в виде:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

Числа a и d – крайние члены пропорции, а b и с – средние

Это легко запомнить, если записать пропорцию в строчку:

\(a : b = c : d\)

Сразу видно, что a и d находятся по краям, а b и с – посредине

Свойство пропорции:

Если помножить обе части пропорции на \(\text{bd}\), то мы получим:

\(\frac{a}{b} \bullet \text{bd} = \frac{c}{d} \bullet bd\)

\(ad = cb\)

Это и есть свойство пропорции – произведение крайних членов пропорции равно произведение средних членов. Еще такое равенство произведений называют умножением крест-накрест.

Чтобы проверить, является ли выражение пропорцией – используют свойство или коэффициент пропорции.

Пример №1:

Проверим, является ли пропорцией:

\(\frac{0,1}{0,175} = \frac{4}{7}\)

Используем свойство пропорции, т.к. найти коэффициент пропорции будет затруднительно:

\(0,1 \bullet 7 = 4 \bullet 0,175\)

\(0,7 = 0,7\)

Значит данное выражение является пропорцией.

Пример №2:

Проверим, является ли пропорцией:

\(\frac{4}{0,2} = \frac{95}{5}\)

Используем коэффициент пропорции. Он должен быть равен для двух дробей, если выражение является пропорцией:

\(\frac{4}{0,2} = \frac{40}{2} = 20\)

\(\frac{95}{5} = 19\)

\(20 \neq 19\)

Значит данное выражение НЕ является пропорцией.