Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Числа и действия с ними
Натуральные числа и действия с ними Правила счёта Рациональные числа и действия с ними Координатная прямая Модуль Целые числа и действия с ними Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Уравнения
Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Практико-ориентированные задания Диаграммы, графики и таблицы Прикладные задачи Введение в текстовые задачи Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Биссектриса Метод координат на плоскости Параллелограммы Виды треугольников Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Трапеция Отношения в геометрии Многоугольники Скалярное произведение векторов Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Четыре замечательные точки треугольника Подобие фигур Элементы планиметрии Высота Равенство фигур Тригонометрия в геометрии Симметрия Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Прямоугольник Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Прямые и углы на плоскости Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Векторы Средняя линия Площадь круга и сектора круга Простейшие расстояния на плоскости
Анализ функций
Квадратичная функция Координатная плоскость Свойства функций Кусочная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функции Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности Линейная функция
Формулы и выражения
Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Формат ОГЭ
Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число \(d\).

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если \(d > 0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если \(d < 0\), то — убывающей последовательностью. А если \(d = 0\)? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью \(d = 1\), а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность \(d = 2\) (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии \(a_{1}\) и ее разность \(d\), то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

  • \(a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1)\) — формула \(n\)-го члена,

Пример: Найдите члены \(а_{8}\), \(а_{1000}\) арифметической прогрессии, у которой \(а_{1} = - 2\), \(d = 5\)

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

\(а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33\).

\(а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993\).

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

  • \(S_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n\);

Пример: Определить сумму \(k\) первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с \(a_{1}\ = \ 1\) и \(d\ = \ 2\)

\(S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\ \)

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: \(S_{5} = \ 5^{2} = 25\)

Можно убедиться, что \(1 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25\).

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

  • \(a_{n} = \ \frac{a_{n - 1}\ + \ a_{n + 1}}{2}\) – свойство \(n\)-го члена.