Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней
Стереометрия
Пирамиды. Основы Призмы. Основы Тела вращения. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Числа и действия с ними
Целые числа и действия с ними Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Модуль Натуральные числа и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Координатная прямая
Формат ОГЭ
Задание 25 в ОГЭ Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ
Реальная математика
Геометрическая прогрессия Практико-ориентированные задания Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на отношения Введение в текстовые задачи Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Прикладные задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты
Анализ функций
Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Кусочная функция Квадратичная функция Функции Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности Линейная функция Координатная плоскость
Планиметрия
Средняя линия Треугольники. Площади Серединный перпендикуляр Медиана Подобие фигур Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Метод координат на плоскости Параллелограммы Многоугольники Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Квадрат Теорема Пифагора Ромб Векторы Площади четырёхугольников Простейшие расстояния на плоскости Симметрия Площадь круга и сектора круга Трапеция Четыре замечательные точки треугольника Прямоугольник Окружнoсть и круг Прямые и углы на плоскости Скалярное произведение векторов Равенство фигур Тригонометрия в геометрии Отношения в геометрии Биссектриса Виды треугольников Высота Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема синусов и теорема косинусов
Уравнения
Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число \(d\).

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если \(d > 0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если \(d < 0\), то — убывающей последовательностью. А если \(d = 0\)? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью \(d = 1\), а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность \(d = 2\) (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии \(a_{1}\) и ее разность \(d\), то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

  • \(a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1)\) — формула \(n\)-го члена,

Пример: Найдите члены \(а_{8}\), \(а_{1000}\) арифметической прогрессии, у которой \(а_{1} = - 2\), \(d = 5\)

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

\(а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33\).

\(а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993\).

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

  • \(S_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n\);

Пример: Определить сумму \(k\) первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с \(a_{1}\ = \ 1\) и \(d\ = \ 2\)

\(S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\ \)

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: \(S_{5} = \ 5^{2} = 25\)

Можно убедиться, что \(1 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25\).

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

  • \(a_{n} = \ \frac{a_{n - 1}\ + \ a_{n + 1}}{2}\) – свойство \(n\)-го члена.