Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Планиметрия
Прямоугольник Средняя линия Равенство фигур Параллелограммы Комбинации с окружностью Векторы Высота Серединный перпендикуляр Четыре замечательные точки треугольника Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Треугольники. Площади Скалярное произведение векторов Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Многоугольники Симметрия Трапеция Медиана Метод координат на плоскости Виды треугольников Элементы планиметрии Прямые и углы на плоскости Отношения в геометрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Биссектриса Теорема синусов и теорема косинусов Квадрат Площади четырёхугольников Подобие фигур Ромб
Числа и действия с ними
Правила счёта Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Модуль
Уравнения
Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения
Реальная математика
Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Вероятность Единицы измерения Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по воде Практико-ориентированные задания
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Анализ функций
Квадратичная функция Координатная плоскость Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Линейная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функции
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка
Варианты ОГЭ
Вариант 1

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны ― катетами (a и b).

Напротив большего угла любого треугольника лежит большая сторона, следовательно гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\)

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\), то такой треугольник является прямоугольным.

Например, чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24, 25 - прямоугольный, используем теорему, обратную теореме Пифагора:

\(7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}\)

следовательно треугольник со сторонами 7, 24, 25 – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Аналогично проверим, является ли прямоугольным треугольник со сторонами 5, 10, 12:

\(5^{2} + 10^{2} = 25 + 100 = 125 \neq 144 = 12^{2}\)

Следовательно треугольник со сторонами 5, 10, 12 – не прямоугольный.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ:

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон.

Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 точно является прямоугольным (гипотенузой является большая сторона, следовательно она равна 5). Это можно проверить, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

\(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}\ \)

Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например:

\({3:4:5 }{5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }{9:40:41 }{12:35:37 }{20:21:49 }\)

Достаточно запомнить несколько отношений, которых обычно достаточно для работы с прямоугольными треугольниками на экзамене:

\({5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }\)

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение.

Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: \(3:4:5\ (х3) = 9:12:15\) – тоже Пифагорова тройка или \(7:24:25\ (х2) = 14:28:50\).

Главное - чтобы все числа Пифагоровой тройки умножались на одно и то же число, отличное от нуля.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Также мы можем выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным и часто применяется в математике.

В треугольнике с углами 30⁰, 60⁰, 90⁰ катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Тогда если один катет равен а, то гипотенуза 2а. Второй катет можно посчитать по теореме Пифагора:

\(\sqrt{\left( 2a \right)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}\).

В треугольнике с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰ катеты равны. Тогда если один катет равен а, то и второй катет равен а. Гипотенузу можно посчитать по теореме Пифагора:\(\ \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}\).

Для удобства на курсах первый треугольник в этой таблице мы называем золотым, а второй – серебряным.