Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения
Реальная математика
Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Вероятность Единицы измерения Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на доли и дроби Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на производительность Практико-ориентированные задания Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Прикладные задачи
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Прямоугольник Квадрат Биссектриса Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Площади четырёхугольников Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Отношения в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Векторы Треугольники. Площади Комбинации с окружностью Многоугольники Медиана Окружнoсть и круг Трапеция Высота Симметрия Прямые и углы на плоскости Скалярное произведение векторов Тригонометрия в геометрии Метод координат на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Элементы планиметрии Серединный перпендикуляр
Числа и действия с ними
Координатная прямая Модуль Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Анализ функций
Преобразование графиков функции Координатная плоскость Функции Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Функция квадратного корня Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Линейная функция

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

\(\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k\) , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}\)

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

\(\frac{А}{В} = \frac{a}{b}\) или \(\frac{H}{C} = \frac{h}{c}\)

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC\)

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

\(\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\ \)

3. По трем пропорциональным сторонам:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}\)

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

  1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).

  2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).

  3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).