Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем
Анализ функций
Свойства функций Квадратичная функция Преобразование графиков функции Координатная плоскость Функции Линейная функция Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Неравенства
Простейшие неравенства Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Площадь круга и сектора круга Треугольники. Площади Скалярное произведение векторов Трапеция Отношения в геометрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Биссектриса Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Прямоугольник Высота Прямые и углы на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Комбинации с окружностью Ромб Квадрат Виды треугольников Элементы планиметрии Симметрия Медиана Теорема Пифагора Средняя линия Равенство фигур Тригонометрия в геометрии Параллелограммы Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Серединный перпендикуляр Площади четырёхугольников Окружнoсть и круг Векторы
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними Целые числа и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Модуль Натуральные числа и действия с ними Округление дробей Правила счёта Координатная прямая
Реальная математика
Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по воде Практико-ориентированные задания Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Текстовые задачи на сплавы и смеси Прикладные задачи Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Единицы измерения Введение в текстовые задачи Арифметическая прогрессия
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Стереометрия
Призмы. Основы Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)