Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Планиметрия
Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Многоугольники Элементы планиметрии Симметрия Скалярное произведение векторов Серединный перпендикуляр Прямоугольник Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Ромб Квадрат Треугольники. Площади Отношения в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Средняя линия Виды треугольников Подобие фигур Векторы Прямые и углы на плоскости Медиана Окружнoсть и круг Трапеция Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Биссектриса Четыре замечательные точки треугольника Высота Тригонометрия в геометрии Площади четырёхугольников Метод координат на плоскости
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения
Реальная математика
Прикладные задачи Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на проценты Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Геометрическая прогрессия Единицы измерения Текстовые задачи на производительность Практико-ориентированные задания Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Вероятность Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Анализ функций
Функция квадратного корня Функции Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Координатная плоскость Кусочная функция Функция обратной пропорциональности
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Числа и действия с ними
Целые числа и действия с ними Округление дробей Правила счёта Координатная прямая Натуральные числа и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Модуль
Формулы и выражения
Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы
Неравенства
Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств Простейшие неравенства

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)