Текстовые задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде отличаются от задач на движение по прямой только наличием течения воды, которое нужно учитывать.

• Если объект плывет по течению, то их общая скорость является результатом сложения их скоростей.
• Если объект плывет против течения, то их общая скорость является результатом разности их скоростей.
• При этом, если у объекта нет собственной скорости (это плот или транспорт, не имеющий двигателя), его скорость равна скорости течения воды.

Общая формула, связывающая скорость время и расстояние, остается неизменной:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Моторная лодка прошла против течения 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

1. Составим таблицу. В строчки назовем соответственно особенностям её движения в воде: против течения и по течению. За \(x\) обозначим искомое – скорость течения. Тогда скорость лодки по течению и против течения будут следующей:

2. При этом и в одну, и в другую лодка проплыла одинаковое расстояние – 91 км:

3. Выразим время, соответствующее каждому виду движения:

4. Составим уравнение, используя тот факт, что при движении по течению лодка потратила на 6 часов меньше, чем при движении против течения:

\(\frac{91}{10 + x} + 6 = \frac{91}{10\ –x}\)

5. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю. В данном случае это знаменатель \((10 + + \ x)(10\ –x)\). Перенесем все слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{91\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} + \frac{6\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} = \frac{91\left( 10 + x \right)}{\left( 10–x \right)\left( 10 + x \right)}\)

\(\frac{910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x}{100\ –x^{2}} = 0\)

6. Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель – нет, т. е. \(x \neq \pm 10\), тогда:

\(910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x\)

\(–6x^{2}\ –182 + 600\ = 0\)

\(6x^{2} + 182\ –600 = 0\)

\(3x^{2} + 91\ –300 = 0\)

\(D = 91^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 300 = 11881 = 109^{2}\)

\(\frac{x_{1} = \frac{–91 + 109}{6} = 3}{x_{2} = \frac{–91\ –109}{6} = \ –103}\)

7. Проверим корни уравнения на адекватность. Искомая скорость течения не может быть отрицательной, значит ответом будет являться корень уравнения \(x_{1} = 3\). Запишем ответ.

Ответ: 3.