Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

9 класс
Математика
Числа и действия с ними
Натуральные числа и действия с ними Целые числа и действия с ними Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Правила счёта Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая
Реальная математика
Основы математической статистики Прикладные задачи Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по окружности Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Единицы измерения Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по воде Практико-ориентированные задания Диаграммы, графики и таблицы
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Многочлены Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней
Неравенства
Простейшие неравенства Рациональные неравенства Системы и совокупности неравенств
Варианты ОГЭ
Вариант 1
Планиметрия
Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Треугольники. Площади Биссектриса Параллелограммы Элементы планиметрии Квадрат Прямоугольник Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Трапеция Метод координат на плоскости Подобие фигур Симметрия Скалярное произведение векторов Серединный перпендикуляр Тригонометрия в геометрии Отношения в геометрии Векторы Теорема Пифагора Окружнoсть и круг Высота Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Площади четырёхугольников Средняя линия Прямые и углы на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Многоугольники Ромб
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем
Формат ОГЭ
Задание 23 в ОГЭ Задание 20 в ОГЭ Задание 24 в ОГЭ Задание 22 в ОГЭ Задание 21 в ОГЭ Задание 25 в ОГЭ
Анализ функций
Преобразование графиков функции Функции Кусочная функция Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Координатная плоскость Функция квадратного корня Свойства функций
Стереометрия
Тела вращения. Основы Пирамиды. Основы Призмы. Основы

Текстовые задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде отличаются от задач на движение по прямой только наличием течения воды, которое нужно учитывать.

  • Если объект плывет по течению, то их общая скорость является результатом сложения их скоростей.

  • Если объект плывет против течения, то их общая скорость является результатом разности их скоростей.

  • При этом, если у объекта нет собственной скорости (это плот или транспорт, не имеющий двигателя), его скорость равна скорости течения воды.

Общая формула, связывающая скорость время и расстояние, остается неизменной:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Пример:

Моторная лодка прошла против течения 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. В строчки назовем соответственно особенностям её движения в воде: против течения и по течению. За \(x\) обозначим искомое – скорость течения. Тогда скорость лодки по течению и против течения будут следующей:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом и в одну, и в другую лодка проплыла одинаковое расстояние – 91 км:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Выразим время, соответствующее каждому виду движения:

Изображение выглядит как снимок экрана, часы Автоматически созданное описание

  1. Составим уравнение, используя тот факт, что при движении по течению лодка потратила на 6 часов меньше, чем при движении против течения:

\(\frac{91}{10 + x} + 6 = \frac{91}{10\ –x}\)

  1. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю. В данном случае это знаменатель \((10 + + \ x)(10\ –x)\). Перенесем все слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{91\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} + \frac{6\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} = \frac{91\left( 10 + x \right)}{\left( 10–x \right)\left( 10 + x \right)}\)

\(\frac{910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x}{100\ –x^{2}} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель – нет, т. е. \(x \neq \pm 10\), тогда:

\(910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x\)

\(–6x^{2}\ –182 + 600\ = 0\)

\(6x^{2} + 182\ –600 = 0\)

\(3x^{2} + 91\ –300 = 0\)

\(D = 91^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 300 = 11881 = 109^{2}\)

\(\frac{x_{1} = \frac{–91 + 109}{6} = 3}{x_{2} = \frac{–91\ –109}{6} = \ –103}\)

  1. Проверим корни уравнения на адекватность. Искомая скорость течения не может быть отрицательной, значит ответом будет являться корень уравнения \(x_{1} = 3\). Запишем ответ.

Ответ: 3.