Векторы

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Вектор обозначается через точки начала и конца вектора, например \(\overrightarrow{АВ}\) (первая буква – начало вектора, вторая – конец) или, если мы хотим обозначить вектор без указания точек, пишем просто \(\overrightarrow{a}\).

Точка тоже может быть вектором, в таком случае вектор называют нулевым, т.к. его началом и концом является одна и та же точка. Обозначаем нулевой вектор как, например, \(\overrightarrow{\text{MM}}\) или \(\overrightarrow{0}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{АВ}\) обозначается как \(\left| \overrightarrow{АВ} \right|\), длина вектора \(\overrightarrow{a}\ \)как \(\left| \overrightarrow{a} \right|\), а длина нулевого вектора всегда равна нулю:

\(\left| \overrightarrow{АВ} \right| = 7\)

\(\left| \overrightarrow{a} \right| = 3\)

\(\left| \overrightarrow{\text{MM}} \right| = \left| \overrightarrow{0} \right| = 0\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Например:

1. \(\overrightarrow{АВ}\) и \(\overrightarrow{a}\) – коллинеарны, при этом противоположно направлены, т.к. лежат параллельных прямых и направлены в разные стороны:

\(\overrightarrow{АВ} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}\)

2. \(\overrightarrow{\text{CD}}\) и \(\overrightarrow{b}\) – коллинеарны, при этом сонаправлены, т.к. лежат параллельных прямых и направлены в одну сторону:

\(\overrightarrow{\text{CD}} \upuparrows \overrightarrow{b}\)

3. \(\overrightarrow{\text{CD}}\) и \(\overrightarrow{b}\) – равны, т.к. сонаправлены (из п.2) и равны по модулю:

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{\text{CD}} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{\left| \text{CD} \right|} = 5 = \left| \overrightarrow{b} \right|} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{b}\)

4. \(\overrightarrow{М}\) коллинеарен всем векторам, и может являться им как сонаправленным, так и противоположно направленным, т.к. \(\overrightarrow{М} = \overrightarrow{0}\).

СВОЙСТВА НЕНУЛЕВЫХ КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ:

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \upuparrows c} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

Если \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{b} \upuparrows c\), то \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow c} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

Если \(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow c\), то \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}\)

Если \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}\), то \(\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}\)

ОТКЛАДЫВАЕНИЕ ВЕКТОРА ОТ ТОЧКИ:

Говорят, что вектор отложен от точки, если она является его началом. Например, \(\overrightarrow{АВ}\) отложен от точки А, \(\left| \text{CD} \right|\) отложен от точки С и так далее. Можно откладывать абсолютно любые векторы абсолютно из любых точек. Это описывается следующим правилом:

Например, возьмем точку М и два вектора \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Мы можем отложить от точки М вектора, равные \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) всего один раз. Делается это параллельным переносом:

Таким образом \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'}\), и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b'}\), при этом \(\overrightarrow{a'}\ и\ \overrightarrow{b'}\) отложены от точки М.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

При сложении векторов нужно учитывать их направления, поэтому проще всего складывать вектора визуально. Существуют два самых простых способа сложить два вектора – это правило треугольника и правило параллелограмма.

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

Если нужно найти сумму двух векторов, по правилу треугольника нужно:

1. Параллельным переносом перенести начало одного вектора в конец другого.
2. Пусть эти векторы будут сторонами треугольника, тогда третья его сторона – их сумма.
3. Обозначить направление получившегося вектора суммы – от начала первого вектора в конец второго (стрелка к стрелке).

Найдите сумму векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по правилу треугольника:

1. Перенесем вектор \(\overrightarrow{b}\) так, чтобы он начинался там, где заканчивается вектор \(\overrightarrow{a}\).

2. Соединим эти векторы в треугольник, третьей стороной которой будет вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\).

3. Направление вектора \(\overrightarrow{c}\) будет идти от начала \(\overrightarrow{a}\) до конца \(\overrightarrow{b}\) (стрелка к стрелке)

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

Если нужно найти сумму двух векторов, по правилу параллелограмма нужно:

1. Параллельным переносом перенести начала этих векторов в одну точку.
2. Пусть эти векторы будут сторонами параллелограмма, тогда диагональ этого параллелограмма – их сумма.
3. Обозначить направление получившегося вектора суммы – от начала векторов в противоположный конец параллелограмма (по диагонали).

Найдите сумму векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по правилу параллелограмма:

1. Перенесем оба вектора параллельным переносом так, чтобы они начинались из одной точки.

2. Представим, что они являются сторонами параллелограмма.

3. Диагональ этого параллелограмма, которая начинается в точке начала векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) – это вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\).

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ:

1. Переместительное свойство:

\(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\)

2. Сочетательное свойство:

\((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})\)

СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ:

Чтобы сложить несколько векторов, нужно ставить их друг за другом, сохраняя их направление (используя параллельный перенос), тогда их суммой будет являться вектор, начала которого – это начало первого вектора, а конец – конец последнего вектора (как в правиле треугольника).

Найдите сумму векторов \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{d}\) и \(\overrightarrow{e}\):

1. Поставим эти векторы как бы по порядку сохраняя их длину и направление. По переместительному свойству неважно, в каком порядке мы будем располагать вектора. Соединим их, например, в таком порядке - \(\overrightarrow{d}\), \(\overrightarrow{e}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{a}\).
2. Проведем вектор их суммы от начала первого вектора в конец второго:

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ:

То есть и при вычитании можно использовать правила сложения. Главное – найти противоположный вектор.

Само словосочетание «противоположный вектор» говорит о том, что такие вектора направлены в разные стороны.

Значит вычесть вектор – значит прибавить вектор с противоположным ему направлением.

Мы можем проверить это свойство алгебраически. Мы знаем, что противоположные числа в сумме дают 0:

\(a + (–a) = a\ –\ a = 0\)

Тогда и сумма противоположных векторов дадут 0 (т.е. если мы «пойдем» от начала до конца \(\overrightarrow{a}\) и обратно по –\(\overrightarrow{a}\), то мы вернемся снова в начало \(\overrightarrow{a}\)):

Значит и для векторов справедливо это свойство:

\(\overrightarrow{a}\ + (–\ \overrightarrow{a}) = 0\)

Найдите \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a}\ –\ \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\ –\ \overrightarrow{d}\ –\ \overrightarrow{e}\), если

1. Можем использовать сложение векторов, если мы найдем отрицательные векторы. В данном случае отрицательны векторы \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{d}\) и \(\overrightarrow{e}\). Тогда \(\overrightarrow{–b}\), \(–\overrightarrow{d}\) и \(–\overrightarrow{e}\) следующие:

2. Теперь сложим все векторы, учитывая отрицательные:

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА И ЧИСЛА:

Произведением ненулевого вектора и числа является вектор, коллинеарный данному, длина которого равна произведению длины данного вектора и числа:

\(k \bullet \overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{ka}}\)

где k – это число, при этом:

\(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{\text{ka}}\) при \(k > 0\)

\(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{\text{ka}}\) при \(k < 0\)

Произведением любого вектора на ноль является нулевой вектор.

Найдите 5\(\overrightarrow{a}\) и –2\(\overrightarrow{a}\) , если:

1. Также можно представить произведение вектора и числа как сложение этого вектора несколько раз:

\(5\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}\):

\(5\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{a}\), т.к 5 > 0

2. Аналогично поступим и с отрицательным числом, только теперь уже складываем противоположные векторы:

\(–2\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}\), т.к –2 < 0

СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА И ЧИСЛА:

1. Сочетательное свойство:

\(kl \bullet \overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a}) \)

2. Распределительный закон:

\(\overrightarrow{a}(k + l) = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}\)

и

\(k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\)

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ:

Используя векторы и связанные с ними свойства можно решать различные геометрические задачи.

Точка С – середина отрезка АВ, О – произвольная точка на плоскости. Докажите, что

\(ОС = \frac{1}{2}(АО + ОВ)\)

1. По правилу треугольника:

\(\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АС}\)

\(\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС}\)

2. Сложим два этих выражения, получим:

\(2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{АС} + \overrightarrow{ВС}\)

3. При этом \(\overrightarrow{АС}\) и \(\overrightarrow{ВС}\) – противоположные векторы, т.к. равны по модулю (точка С середина АВ), и имеют противоположное направление, значит:

\(2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{АС} + \overrightarrow{ВС}\)

\(2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + 0\)

\(ОС = \frac{1}{2}(АО + ОВ)\)

Что и требовалось доказать.

ABCD – трапеция. Точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Точка О – точка пересечения прямых AB и CD. Докажите, что О, M и N лежат на одной прямой.

1. Треугольники OAD и OBC подобны по двум углам:

\(\left. \ \frac{\angle\text{OBC} = \angle OAD\ как\ соответствующие\ углы}{\angle O\ - \ общий} \right\}\Delta\text{OAD}\sim\text{ΔOBC}\)

\(\frac{\text{OA}}{\text{OB}} = \frac{\text{OD}}{\text{OC}} = k\)

2. При этом соответствующие стороны коллинеарны, значит можем выразить их как произведение числа и вектора:

\(\overrightarrow{\text{OA}} \upuparrows \overrightarrow{\text{OB}} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{OA}} = k\overrightarrow{\text{OB}}\)

\(\overrightarrow{\text{OD}} \upuparrows \overrightarrow{\text{OC}} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{OD}} = k\overrightarrow{\text{OC}}\)

3. В данной задаче можем выразить \(\overrightarrow{\text{OM}}\) и \(\overrightarrow{ON}\) как

\(\overrightarrow{\text{OM}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OD}})\)

т.к. М – середина BC, а N – середина AD (аналогично вектору \(\overrightarrow{\text{OC}}\) из Примера №6).

4. Соединим выразим вектор \(\overrightarrow{\text{ON}}\) через \(\overrightarrow{\text{OA}}\) и \(\overrightarrow{\text{OD}}\) из пункта 3:

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OD}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}\left( k\overrightarrow{\text{OB}} + k\overrightarrow{\text{OC}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}k\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = k(\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)) = k\overrightarrow{\text{OM}}\)

5. Если вектор \(\overrightarrow{\text{ON}}\) можно представить как произведение числа k с вектором \(\overrightarrow{\text{OM}}\), значит \(\overrightarrow{\text{ON}}\) и \(\overrightarrow{\text{OM}}\) коллинеарны, а значит лежат на одной прямой (они не могут быть параллельны, т.к. уже пересекаются в точке О).

Что и требовалось доказать.