Введение в текстовые задачи

Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.

Пример:

Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки	Сколько наклеек наклеил Коля?
(условие)	(вопрос)

Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:

Работа с условием

Составление математической модели

Проверка ответа

РАБОТА С УСЛОВИЕМ

Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.

Пример:

Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?

Иллюстрация:

Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.

Пример:

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 45 км/ч, скорость другого — 55 км/ч. Сейчас между ними 200 км. Через сколько часов они встретятся?

Иллюстрация:

Пусть \(x\) часов – время движения обоих поездов, тогда по рисунку видно, что первый проедет \(45x\) км, а второй - \(55x\) км.

Составим математическую модель:

\(45x + 55x = 200\)

\(100x = 200\)

\(x = 2\ ч\)

Ответ: 2 ч.

Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Математика, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке.

В таблице приведены различные ситуации и их математические модели.

\(x\) - число девочек

\(y\) - число мальчиков

Реальная ситуация	Математическая модель
В классе поровну мальчиков и девочек	\(x = y\)
Девочек на 5 больше, чем мальчиков	\(x = y + 5\), или \(x - y = 5\), или \(x - 5 = y\)
Мальчиков в 2 раза больше, чем девочек	\(y = 2x\), или \(\frac{y}{2} = x\), или \(\frac{y}{x} = 2\)
Если в классе перейдут 3 мальчика, то девочек станет в два раза больше	\(x = 2(y + 3)\)

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Такая зависимость выражается в словах: выше/ниже, больше/меньше, дороже/дешевле, длиннее/короче и т. д.

При составлении уравнения особое значение играют используемые предлоги: «в» и «на».

Пример:

Первое число \(a\), второе число в 1,5 раза больше первого. Если к первому прибавить 5, а из второго вычесть 13, то получатся одинаковые результаты.

Решение: Если первое число \(a\), то второе \(1,5a\).

Прибавим к первому 5, получаем \(a + 5\)

Вычтем из второго 13, получаем \(1,5a - 13\)

А теперь приравняем : \(a + 5 = 1,5a - 13\)

Пример:

В одном доме живет на 20 человек больше, чем в соседнем. Сколько человек живет в каждом доме, если в двух домах живет 180 человек.

Решение: Пусть \(x\) человек –проживает в первом доме, тогда в соседнем \(x - 20\) человек.

Теперь составим уравнение, сложив количество человек в каждом доме:

\(x + x - 20 = 180\)

\(2x = 200\)

\(x = 100\) – в первом доме

Получается, что в соседнем доме \(180 - 100 = 80\) человек

Пример:

Петя выше Коли на 20 см, Сережа ниже Коли на 10 см. На сколько см Петя выше Сережи?

Решение: Пусть П – рост Пети, К – рост Коли, С – рост Сережи.

Кстати, обратите внимание на этот приём – выбирать «говорящие» переменные, а не безликие иксы и игреки, чтобы не запутаться при работе с уравнением.

Выразим рост мальчиков.

Петя выше Коли на 20 см: \(П–20 = К\)

Сережа ниже Коли на 10 см: \(К = С + 10\)

Подставим в первое уравнение рост Коли: \(П–20 = С + 10\)

Нам нужно найти, на сколько см Петя выше Сережи: \(П–С\)

\(П–20 = С + 10\)

\(П–С = 20 + 10\)

\(П–С = 30\)

Получаем, что Петя выше Сережи на 30 см.

Пример:

На уроке труда ученики делали снежинки. Всего было сделано 12 снежинок. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома. Сколько снежинок сделала Маша?

Решение:

Пусть М – количество снежинок, которое сделала Маша, К – снежинки Коли, Р – снежинки Ромы.

Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля: \(К = \frac{М}{2}\)

Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома: \(Р = К + 4 = \frac{М}{2} + 4\)

Вместе ребята сделали 12 снежинок: \(М + К + Р = 12\)

Подставим все выраженные через М значения: \(М + \frac{М}{2} + \frac{М}{2} + 4 = 12\)

\(М = 4.\)

Маша сделала 4 снежинки.

ПЕРЕХОД ОТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ К СЛОВЕСНОЙ

Также существует обратный процесс – переход от математической модели к словесной. Например, дано уравнение и по нему нужно составить словесную модель.

Пример:

Составить словесную модель по данной математической модели \(a = 3b\)

Решение: Определяем зависимости величин – \(a\) больше \(b\) в 3 раза.

Составим словесную модель: На обед слону в зоопарке требуется \(\mathbf{a}\) кг корма, \(a\) ослику \(\mathbf{b}\mathbf{\ }\)кг. Причем на слона уходит ровно в 3 раза больше корма.

Пример:

Составить задачу по данной математической модели \(x = \frac{y - 5}{2}\)

Решение: Составим задачу, учитывая зависимость между величинами: «Задумали два числа. Если из второго вычесть 5 и затем эту разность уменьшить в 2 раза, то получится первое число».

Таким образом, можно составить абсолютно любую словесную модель. Здесь играет роль правильное понимание соотношений между величинами и фантазия.

Также текстовые задачи могут быть посвящены прогрессиям, производительности и темпу.

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Введение в текстовые задачи