Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Уравнения с модулем
ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ:
Уравнение вида \(\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{= a,\ a > 0}\)
Аналитический (способ 1):
Выражение под модулем равно самому числу или противоположному.
\(\left| f\left( x \right) \right| = a \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \text{\ f}\left( x \right) = a \\ \text{\ \ \ f}\left( x \right) = - a \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)
Аналитический (способ 2):
1. Найдем критическое значение модуля, т.е. такое значение, до и после которого выражение меняет знак. Для этого решим \(f(x) = 0\).
2. Получаем интервалы с разными знаками.
3. Раскрываем модуль для каждого интервала в соответствии со знаком.
Графическое решение:
1. Изображаем график функции \(\left| f(x) \right|\).
2. Проводим прямую \(y = a\).
3. Находим точки пересечения, которые и являются решениями уравнения.
Решим уравнение тремя способами.
\(\left| 8x \right| = 16\)
-
Первый способ:
\(\left| 8x \right| = 16 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ 8x = 16 \\ \ \ \ 8x = - 16 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –2} \right.\ \)
Ответ: –2; 2.
-
Второй способ:
1. Найдем критическую точку:
\(8x = 0\)
\(x = 0\ - \ критическая\ точка\)
2. Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:
\(\left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x = 16 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –8x = 16 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ x = \ –2 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –2} \right.\ \)
Ответ: 2; –2.
Графический способ:
-
Построим график \(y = \left| 8x \right|\):
-
Проведем прямую \(y = 16\). Точки пересечения двух графиков будут являться корнями уравнения:
Ответ: –2; 2.
Уравнения вида \(\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{= a,\ a < 0}\)
не имеют решений
Пример:
Решим уравнение
\(\left| 8x \right| = \ –16\)
Модуль числа не может быть отрицательным
Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)
Уравнения вида \(\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{= g(x)}\)
1. Записываем ОДЗ: \(g(x)\ \geq \ 0\).
2. Решаем по алгоритму для уравнений вида \(\left| f\left( x \right) \right| = a,\ a > 0\).
Пример:
Решим уравнение
\(\left| 8x \right| = \ 14 + x\)
1. Запишем ОДЗ:
\(14 + x \geq 0\)
2. Решим уравнение вторым аналитическим способом:
\(8x = 0\)
\(x = 0\ - \ критическая\ точка\)
Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:
\(\left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –8x = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 7x = 14 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –9x = \ 14 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –\frac{14}{9}} \right.\ \)
Ответ: 2; \(- \frac{14}{9}\).
Уравнения с несколькими модулями
1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в ноль.
2. Отметить эти точки на числовой прямой.
3. Рассмотреть уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули с соответствующим знаком.
Пример:
Решим уравнение:
\(\left| 8x \right| + \left| 14 + x \right| = 21\)
1. Найдем критические точки уравнения:
\({x = 0 }{x\ = \ –14}\)
2. Отметим эти точки на числовой прямой:
\(\left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ \left| 14 + x \right| = \ –14\ –\ x \\ \end{matrix} \right.\ \ и\ \left\{ \begin{matrix} x > \ –14 \\ \left| 14 + x \right| = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x < 0} \\ \left| 8x \right| = \ –8x \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ и\ }\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x \geq 0} \\ \left| 8x \right| = 8x \\ \end{matrix} \right.\ \)
3. Если объединим Условия из пункта 2, получим общую числовую прямую с такими промежутками:
- На синем промежутке раскроем оба модуля с противоположными знаками переменной.
- На зеленом промежутке раскроем модуль \(\left| 8x \right|\) с противоположными знаками, а модуль \(\left| 14 + x \right|\) без изменений.
- На оранжевом промежутке раскроем оба модуля без изменений.
Обозначения промежутков запишем неравенствами в системе. Получим:
\(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –8x\ \ –14\ –\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \)
4. В ответ записываем решение получившейся системы:
\(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –8x\ \ –14\ –\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –9x\ = 35 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –7x = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 9x = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ x\ = \ –\frac{35}{9} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ x = \ –1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \frac{7}{9} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \varnothing \\ x = \ –1 \\ x = \frac{7}{9} \\ \end{matrix} \right.\ \)
Ответ: –1; \(\frac{7}{9}\).
Уравнения вида \(\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{=}\left| \mathbf{g}\left( \mathbf{x} \right) \right|\)
равносильны уравнениям \(\sqrt{\left( f(x) \right)^{2}} = \sqrt{\left( g(x) \right)^{2}}\)
1. Возводим обе части уравнения в квадрат.
2. Решаем полученное уравнение.
3. Уравнения с вложенными модулями решаем последовательным раскрытием модулей.
Пример:
\(0 = \left| x^{2} + 5x \right| - 16 + x\)
1. Если перенесем модуль в левую сторону, то получим уравнение вида \(\left| f\left( x \right) \right| = g(x)\)
\(\left| x^{2} + 5x \right| = 16 - x\)
2. Определяем ОДЗ: \(16 - x \geq 0\ \Rightarrow x \leq 16\)
3. Решаем по алгоритму для уравнений вида \(\left| f\left( x \right) \right| = a,\ a > 0\).
\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \text{\ \ x}^{2} + 5x = 16 - x \\ \text{\ \ \ }x^{2} + 5x = x - 16 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \text{\ \ x}^{2} + 6x - 16 = 0 \\ \text{\ \ \ }x^{2} + 4x + 16 = 0 \\ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ } \right.\ \) \(\text{\ \ }\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \ - 16 \\ \ \\ \ x_{1} + x_{2} = - 6 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} \cdot x_{2} = 16 \\ \ \\ \ x_{1} + x_{2} = - 4 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\text{\ \ }\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} = - 8\ \\ \ \\ \ x_{2} = 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ Решений\ нет \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)
4. Если в совокупности одна система не имеет корней, то решением будут системы с решениями.
\(x_{1} = - 8;x_{2} = 2\)
5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Оба корня подходят.
Ответ: \(x_{1} = - 8;x_{2} = 2\)