Рациональные неравенства

Для решения рациональных неравенств применяется метод интервалов. Рассмотрим его алгоритм:

1. Переносим все слагаемые влево.
2. Раскладываем левую часть на множители.
3. Приравняем каждый множитель к нулю и выразим переменную. Эти значения переменной являются нулями функции.

• Отмечаем на координатной оси нули числителя и знаменателя (если он есть). Нули знаменателя всегда «выколотые» точки.
• Ноль функции, полученный из множителя, стоящего в четной степени, образует «петлю» на координатной прямой.

4. Определяем знак неравенства в крайнем правом промежутке (можно подставить пробную точку из каждого промежутка в преобразованное неравенство).
5. Определяем знаки в остальных промежутках, двигаясь справа налево. Для соседних промежутков, включая петлю, знаки чередуются.
6. Выбираем нужные промежутки и записываем ответ.

Решите неравенство:

\(x^{2} + 8x\ –\ 5 \geq \ –5\)

1. Переносим все слагаемые влево:

\(x^{2} + 8x\ –\ 5 \geq \ –5\)

\(x^{2} + 8x\ –\ 5\ + 5 \geq 0\)

\(x^{2} + 8x \geq 0\)

2. Раскладываем левую часть на множители:

\(x^{2} + 8x \geq 0\)

\(x(x + 8) \geq 0\)

3. Чтобы найти нули неравенства, нужно приравнять каждый множитель к 0. Получившиеся значения отметим на координатной прямой. Точки будут выколотыми или закрашенными в соответствии со строгостью знака неравенства:

\(x\left( x + 8 \right) \geq 0\)

\(x = 0\ \ или\ \ x = \ –8\)

4. Мы получили три интервала. Нам нужно найти те интервалы, на которых x будет обращать неравенство в верное. Определим знак неравенства в самом крайнем промежутке. В этот промежуток входят все числа больше, либо равные 0. Допустим, \(x = \ 1\), тогда

\(x\left( x + 8 \right) = \ 1(1 + 8) = 9\)

9 – число положительное. Значит на самом крайнем промежутке x будет обращать выражение \(x\left( x + 8 \right)\ \)в положительное число:

5. Все промежутки справа налево будут менять знак, переходя через точки 0 и –8. Поэтому получаются следующие знаки промежутков:

6. Неравенство \(x\left( x + 8 \right) \geq 0\) должно быть больше, либо равно нулю. Значит решением такого неравенства будут положительные промежутки:

\(x \in (–\infty;\ –8\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;\ –8\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty)\).

Решите неравенство:

\({4x}^{2} + 20x + 25 > 0\)

1. Все слагаемые уже перенесены влево.

2. Разложим левую часть на множители. Здесь мы видим ФСУ – квадрат суммы:

\({4x}^{2} + 20x + 25 > 0\)

\({(2x + 5)}^{2} > 0\)

3. Найдем нули функции:

\({\left( 2x + 5 \right)^{2} = 0 }{2x + 5 = 0 }{2x = \ –5 }{x = \ –2,5}\)

Если один из множителей стоит в четной степени, то ноль функции, образованный приравниванием этого множителя к нулю, образует «петлю». Эта петля – промежуток, который включает в себя одно число – именно этот ноль функции, в данном случае «петля» равна – 2,5:

4. Таким образом у нас появилось три промежутка. Отметим знак самого правого из них. Для удобства представим, что x = 0, т.к. 0 как раз входят в этот промежуток:

\({(2x + 5)}^{2} = 5^{2} = 25\)

25 – положительное число, значит и промежуток является положительным:

5. При переходе через ноль функции знак поменяется именно в петле. Тогда для самого левого промежутка знак снова станет положительным:

6. Выберем промежутки, которые обращают наше выражение в положительное:

\(x \in (–\infty;–2,5) \cup (–2,5; + \infty)\)

То есть наше выражение обращается в неположительное, только если \(x = \ –2,5.\ \ \)Поэтому число \(–2,5\ \)– единственное число, которое не идет в ответ.

Ответ: \(x \in (–\infty;–2,5) \cup (–2,5; + \infty)\).

Решим неравенство:

\(\frac{x^{2}(x\ –\ 5)}{x\ –\ 8} \leq 0\)

1. Так как пункты 1 и 2 алгоритма уже выполнены, сразу переходим к пункту 3:

Нули числителя: \(x = 0\ и\ x = 5\ \ \)

Нули знаменателя: \(x = 8\)

Отмечаем полученные точки на координатной прямой. Нули числителя будут закрашиваться в соответствии со знаком неравенства, а нули знаменателя всегда выколоты, независимо от знака.

При этом 0 на координатной прямой образует петлю аналогично примеру №2, потому что ноль функции \(x = 0\ \)был найден через множитель \(x^{2}\):

2. В крайнем правом промежутке можно рассмотреть точку \(x = 10:\)

\(\frac{x^{2}(x\ –\ 5)}{x\ –\ 8} = \frac{10^{2}(10\ –\ 5)}{10\ –\ 8} = \frac{100 \bullet 5}{2} = 250\)

После подстановки получаем, что выражение больше 0.

3. Определяем знаки в оставшихся промежутках с учетом петли:

4. Необходимо отметить промежутки, которые обращают выражение в отрицательное число или равно нулю:

т.к. само число 0 обращает всё выражение в 0, то оно тоже подходит для ответа:

\(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \lbrack 5;8)\)

Ответ: \(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \lbrack 5;8)\).