Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Одночлены Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Многочлены Иррациональные выражения Свойства степеней Разложение на множители. Группировка
Анализ функций
Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функции Свойства функций Линейная функция Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Прямоугольник Трапеция Высота Серединный перпендикуляр Средняя линия Четыре замечательные точки треугольника Многоугольники Ромб Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Виды треугольников Элементы планиметрии Равенство фигур Треугольники. Площади Медиана Прямые и углы на плоскости Симметрия Подобие фигур Параллелограммы Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Квадрат Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
Уравнения
Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Числа и действия с ними
Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение Основы математической статистики

Одночлены

Одночлен – это выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней.

Например,\(\ 7x^{2},\ 3a \bullet 7b,\ - 100z^{5}\)

Числа, переменные и их степени тоже называют одночленами.

Привести одночлен к стандартному виду означает записать его в виде произведения числа (стоящего на первом месте), переменной и степени.

Пример №1:

Привести одночлен \(3xy \bullet 7x^{2}y\) к стандартному виду.

Решение:

Воспользуемся свойствами умножения степеней с одинаковыми основаниями:

  1. Перемножим 7 и 3 и запишем на первое место результат

  2. Затем приведем подобные переменные

\(3xy \bullet 7x^{2}y\ = 3 \bullet 7x \bullet y \bullet x^{2} \bullet y = 21x^{3}\text{y\ }^{2}\)

Коэффициент одночлена стандартного вида – числовой множитель перед переменной.

Например, в одночлене \(21x^{3}\text{y\ }^{2}\ \) коэффициент равен 21. Если коэффициент одночлена равен 1 или -1, то его не пишут.

Степень одночлена стандартного вида – сумма показателей степеней входящих в него переменных.

Если одночлен представляет собой число, не равное нулю, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена\(\ 21x^{3}\text{y\ }^{2}\) равна 5, степень одночлена \(- 3xy\) равна 2.

ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ

  1. Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Если a и b – произвольные числа и n – любое натуральное число, то \({(\text{ab})}^{n} = a^{n}b^{n}\)

Например,

Возвести одночлен в степень\({(3\text{xy})}^{5}\).

Решение: Возведем каждый множитель скобки в пятую степень.

\({(3xy)}^{5} = 3^{5} \bullet x^{5} \bullet y^{5} = 243x^{5}y^{5}\)

  1. Чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

\({(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}},\ b \neq 0\)

Например,

Возвести одночлен в степень \({(\frac{3x}{y})}^{4}\ \).

Решение: Возведем в четвертую степень и числитель, и знаменатель

\({(\frac{3x}{y})}^{4} = \frac{3^{4} \bullet x^{4}}{y^{4}} = \frac{81 \bullet x^{4}}{y^{4}}\)

  1. Чтобы возвести степенное выражение в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить:

Если a – произвольное число, m и n – любые натуральные числа, то \({(a^{m})}^{n} = a^{\text{mn}}\)

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

Например,

Возвести одночлен в степень \({( - 2x^{2}y)}^{8}\).

Решение: Возведем каждый множитель в восьмую степень и перемножим:

\({( - 2x^{2}y)}^{8} = {( - 2)}^{8} \bullet \left( x^{2} \right)^{8} \bullet \left( y \right)^{8} = 256x^{16}y^{8}\)