Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Планиметрия
Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Многоугольники Квадрат Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Виды треугольников Трапеция Подобие фигур Ромб Равенство фигур Высота Площади четырёхугольников Теорема Пифагора Прямоугольник Окружнoсть и круг Симметрия Комбинации с окружностью Треугольники. Площади Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Тригонометрия в геометрии Биссектриса
Уравнения
Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Числа и действия с ними
Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей
Реальная математика
Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение Вероятность
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены Степени Разложение на множители. Группировка Многочлены
Анализ функций
Кусочная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Координатная плоскость Функции Свойства функций Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Функция обратной пропорциональности
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств

Одночлены

Одночлен – это выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней.

Например,\(\ 7x^{2},\ 3a \bullet 7b,\ - 100z^{5}\)

Числа, переменные и их степени тоже называют одночленами.

Привести одночлен к стандартному виду означает записать его в виде произведения числа (стоящего на первом месте), переменной и степени.

Пример №1:

Привести одночлен \(3xy \bullet 7x^{2}y\) к стандартному виду.

Решение:

Воспользуемся свойствами умножения степеней с одинаковыми основаниями:

  1. Перемножим 7 и 3 и запишем на первое место результат

  2. Затем приведем подобные переменные

\(3xy \bullet 7x^{2}y\ = 3 \bullet 7x \bullet y \bullet x^{2} \bullet y = 21x^{3}\text{y\ }^{2}\)

Коэффициент одночлена стандартного вида – числовой множитель перед переменной.

Например, в одночлене \(21x^{3}\text{y\ }^{2}\ \) коэффициент равен 21. Если коэффициент одночлена равен 1 или -1, то его не пишут.

Степень одночлена стандартного вида – сумма показателей степеней входящих в него переменных.

Если одночлен представляет собой число, не равное нулю, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена\(\ 21x^{3}\text{y\ }^{2}\) равна 5, степень одночлена \(- 3xy\) равна 2.

ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ

  1. Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Если a и b – произвольные числа и n – любое натуральное число, то \({(\text{ab})}^{n} = a^{n}b^{n}\)

Например,

Возвести одночлен в степень\({(3\text{xy})}^{5}\).

Решение: Возведем каждый множитель скобки в пятую степень.

\({(3xy)}^{5} = 3^{5} \bullet x^{5} \bullet y^{5} = 243x^{5}y^{5}\)

  1. Чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

\({(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}},\ b \neq 0\)

Например,

Возвести одночлен в степень \({(\frac{3x}{y})}^{4}\ \).

Решение: Возведем в четвертую степень и числитель, и знаменатель

\({(\frac{3x}{y})}^{4} = \frac{3^{4} \bullet x^{4}}{y^{4}} = \frac{81 \bullet x^{4}}{y^{4}}\)

  1. Чтобы возвести степенное выражение в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить:

Если a – произвольное число, m и n – любые натуральные числа, то \({(a^{m})}^{n} = a^{\text{mn}}\)

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

Например,

Возвести одночлен в степень \({( - 2x^{2}y)}^{8}\).

Решение: Возведем каждый множитель в восьмую степень и перемножим:

\({( - 2x^{2}y)}^{8} = {( - 2)}^{8} \bullet \left( x^{2} \right)^{8} \bullet \left( y \right)^{8} = 256x^{16}y^{8}\)