Буквенные выражения

Буквенные выражения встречаются во многих формулировках. Различные выражения можно представить в виде букв и затем применять их для действий с числами. Также многие алгоритмы записаны с помощью буквенных выражений.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

1. Переместительное свойство сложения – два числа можно складывать в любом порядке, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

\(a + b = b + a\)

2. Сочетательное свойство сложения – при сложении трех чисел можно группировать как первые два слагаемых, так и последние два:

\(\left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right) = a + b + c\)

3. Переместительное свойство умножения – от перемены мест множителей произведение не меняется:

\(ab = ba\)

4. Сочетательное свойство умножения – при умножении трех чисел можно группировать как первые два множителя, так и последние два:

\(\left( \text{ab} \right)c = a\left( \text{bc} \right) = abc\)

5. Распределительное свойство – при умножении суммы на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число. Аналогично, для разности чисел:

\(a\left( b + c \right) = ab + ac\)

\(a\left( b - c \right) = ab - ac\)

Чтобы умножить число 25 на 13, можно умножить 25 на сумму \(10 + 3\).

Решение:

Запишем эти рассуждения с помощью цепочки равенств:

\(25 \bullet 13 = 25 \bullet \left( 10 + 3 \right) = 25 \bullet 10 + 25 \bullet 3 = 250 + 75 = 325\)

Ответ: 325.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЯ

Исходное и преобразованное выражения будут называться тождественно равными или просто равными.

Правила преобразования буквенных выражений

1. В любой сумме слагаемые можно как угодно переставлять и объединять в группы произвольным образом.

Например, выражение \(\left( a + 11 \right) + \left( c - d + b \right)\) можно записать в виде \(\left( a + 11 \right) + \left( b - d \right) + c\)

Например,

Упростим выражение \(2a + 3b + a - 5b + с\)

Решение:

Данное выражение – сумма, состоящая из пяти слагаемых: \(2a,3b,a\ ,\ –5b\ и\ c\)

Поменяем местами слагаемые в этой сумме:

\(2a + 3b + a - 5b + c = 2a + a + 3b + \left( - 5b \right) + c\)

Сгруппируем два слагаемых содержащих а и два слагаемых, содержащих \(b\):

\(2a + a + 3b + \left( - 5b \right) + c = \left( 2a + a \right) + \left( 3b + \left( - 5b \right) \right) + c\)

Выполним математические преобразования:

\(\left( 2a + a \right) + \left( 3b + \left( - 5b \right) \right) + c = 3a - 2b + c\)

2. В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы.

Например,

Упростим произведение\(\ 7a \bullet 3b\)

Решение:

Посчитаем отдельно числа, а буквенные множители сгруппируем. Вначале запишем вначале произведение числовых множителей, а затем буквенные множители:

\(7a \bullet 3b = 7 \bullet 3 \bullet ab = 21ab\)

Число, умноженное на буквенный множитель, называют коэффициентом этого произведения. Так в выражении \(21\text{ab}\), числовой множитель 21 является коэффициентом.

Коэффициент равный 1 обычно не пишут, а вместо \(- 1\) обычно оставляют просто «-». Например, \(\left( - 1 \right) \bullet x = - x\)

РАСКРЫТИЕ СКОБОК

Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок можно составить другое буквенное выражение. Например, рассмотри два выражения \(5a\ и\ 4b - 1\). Тогда

\(5a + (\ 4b - 1)\) – сумма выражений \(5a\ и\ 4b - 1\),

\(5a - (\ 4b - 1)\) – разность выражений \(5a\ и\ 4b - 1\),

\(5a(\ 4b - 1)\) – произведение выражений \(5a\ и\ 4b - 1\).

Правила раскрытия скобок:

1. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак \(« + »\ \)необходимо просто переписать выражение с сохранением всех знаков перед слагаемыми (можно просто убрать скобки):

\(5a + (\ 4b - 1) = 5a + 4b - 1\)

2. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» необходимо поменять у каждого слагаемого внутри скобок знак на противоположный:

\(5a - \left( \ 4b - 1 \right) = 5a + \left( \left( - 1 \right) \bullet \left( 4b - 1 \right) \right) = 5a + \left( - 4b + 1 \right) = 5a - 4b + 1\)

3. Чтобы умножить выражение на скобку, необходимо каждое слагаемое внутри скобки умножить на выражение, стоящее перед скобкой и результат сложить:

\(5a(\ 4b - 1) = 5a\left( 4b + \left( - 1 \right) \right) = 5a \bullet 4b + 5a \bullet \left( - 1 \right) = 20ab + \left( - 5a \right) = 20ab - 5a\)

ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ

Приведение подобных слагаемых – это группировка и сложение подобных слагаемых с целью упрощения буквенного выражения.

Алгоритм приведения подобных слагаемых:

- выделить и сгруппировать подобные слагаемые в выражении;

- сложить коэффициенты выделенных подобных слагаемых;

- умножить полученную сумму на их общую буквенную часть.

Упростить выражение \(5x + 9y + 3y - 11x\).

Решение:

У слагаемых \(5x\), \(- 11x\) и одна и та же буквенная часть x, следовательно, они являются подобными. Аналогично для\(\ 9y\), \(3y\) общая буквенная часть y.

Сгруппируем эти слагаемые:

\(\mathbf{5}\mathbf{x} + 9y + 3y\mathbf{- 11}\mathbf{x} = \left( \mathbf{5}\mathbf{x}\mathbf{- 11}\mathbf{x} \right) + \left( 9y + 3y \right)\)

Сложим коэффициенты подобных слагаемых в каждой скобке:

\(\left( \mathbf{5}\mathbf{x - 11}\mathbf{x} \right) + \left( 9y + 3y \right) = \mathbf{- 6}\mathbf{x} + 12y\)