Уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней

Такие уравнения можно решать несколькими способами в зависимости от максимальной степени аргумента – высшей степени – и вида уравнения.

Важно отметить, что в первую очередь данное в условии уравнение полезно преобразовать, в частности – привести подобные слагаемые. Иногда сложные на первый взгляд уравнения после упрощений становятся квадратными или даже линейными.

Далее мы рассмотрим наиболее распространённые типы уравнений, которые имеют переменную в степени больше двух.

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ:

Кубические уравнения имеют такой общий вид:

$\text{ax}^{3} + \text{bx}^{2} + \text{cx} + d = 0$, где $a,\ b,\ c,\ d$ - некоторые числа, $a \neq 0$

• 1. Чаще всего удобно решать кубические уравнения через метод группировки.

Решим следующее уравнение таким методом:

$x^{3} + x^{2}\ –\ 9x\ –9 = 0$

1. Сгруппируем между собой слагаемые следующим образом:

$\ {(x}^{3} + x^{2})\ (–\ 9x\ –9) = 0$

$x^{2}(x + 1)\ –\ 9(x + 1) = 0$

2. Выделим общий множитель:

$(x + 1)(x^{2}–\ 9) = 0$

3. Приравняем каждый множитель к нулю. Получим:

$x + 1 = 0$ или $x^{2}–\ 9 = 0$

$x = \ –1$

$x = 3$

$x = \ –3$

Ответ: – 3; – 1; 3.

• 2. Существуют кубические уравнения, вид которых отличен от общего, но аргумент в третьей степени там так же присутствует.

Это уравнения вида:

${(x + a)}^{3} = b$

где a и b – какие-либо числа или выражения

Тогда мы решаем такие уравнения методом извлечения корня соответствующей степени.

Решим следующее уравнения таким методом:

${(x + 6)}^{3} = 64$

1. Извлечем корень третьей степени с каждой стороны уравнения:

$\sqrt[3]{({x + 6)}^{3}} = \sqrt[3]{64}$

$x + 6 = 4$

2. С помощью простейших алгебраических действий решим линейное уравнение:

$x = 4\ –\ 6$

$x = - 2$

Ответ: –2.

Аналогично решаются и другие подобные уравнения высших степеней нечетной кратности (если степень 3,5,7 и далее). Уравнения с четной степенью решаются похожим образом через извлечение корня соответствующей степени, однако в таком случае появляется модуль и необходимо рассматривать два уравнения в совокупности.

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ:

Как видно из названия, старшая степень таких уравнений – четвертая. Они имеют вид:

$\text{ax}^{4} + \text{bx}^{3} + cx^{2} + dx + e = 0$, где $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ - некоторые числа, $a \neq 0$

Если в уравнении четвертой степени коэффициенты при третьей и первой степени равны нулю, то такие уравнения называются биквадратными и имеют вид:

$\text{ax}^{4} + \text{bx}^{2} + c = 0$

Такие уравнения решаются методом замены:

1. Пусть $x^{2} = t$, получим:

$\text{at}^{2} + bt + c = 0$

2. Решим обычное квадратное уравнение, получим два корня – t1 и t2.

3. Проведем обратную замену:

$\left\lbrack \frac{x = \pm {\sqrt{t}}_{1}}{x = \pm {\sqrt{t}}_{2}} \right.\$

Решим следующее уравнение таким методом:

${3x}^{4}\ –\ 8x^{2}\ –\ 3 = 0$

1. Пусть $x^{2} = t$:

${3t}^{2}\ –\ 8t\ –\ 3 = 0$

2. Решим квадратное уравнение:

$D = 64\ –\ 4 \bullet (–3) \bullet 3 = 64 + 36 = 10^{2}$

$t_{1\ } = \ \frac{8 + 10}{6} = 3$

$t_{2\ } = \ \frac{8\ –10}{6} = \ –\frac{1}{3}$

3. Сделаем обратную замену:

$x^{2} = 3$; $x = \pm \sqrt{3}$

$x^{2} = \ –\ \frac{1}{3}$ – корней нет

Ответ: – $\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$.

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ВЫРАЖЕНИЕ:

При работе с уравнениями большой степени иногда нужно понизить степень для удобства вычислений, либо уравнение дробно-рациональное и имеет и в числителе, и в знаменателе многочлены высокой степени. В таком случае можно поделить одно выражение на другое в столбик, используя те же правила, что и при делении обычных чисел, например:

$\frac{{3x}^{4}\ –\ x^{3} + 11x^{2} + 7x + 4}{x^{2}\ –\ x + 4}$

1. Поделим первое слагаемое делимого на первое слагаемое делителя, получим первое слагаемое для нашего частного. Теперь перемножим полученное слагаемое $(3x^{2})$ с делителем:

$3x^{2}{(x}^{2}\ –\ x + 4$) = ${3x}^{4}\ –\ {3x}^{3} + 12x^{2}$

2. Вычтем из делимого получившийся многочлен. Теперь будем делить первое слагаемого этой разности на делитель, аналогично первому пункту. Снова перемножим слагаемое с делителем

$2x{(x}^{2}\ –\ x + 4)$ = $2x^{3}\ –2x^{2} + 8x$

3. Видим, что теперь разность равна самому делителю, значит последнее слагаемое частного будет равно 1:

4. Теперь получаем более простое выражение:

$\frac{{3x}^{4}\ –\ x^{3} + 11x^{2} + 7x + 4}{x^{2}\ –\ x + 4} = {3x}^{2} + 2x + 1$

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ВЫРАЖЕНИЕ С ОСТАТКОМ:

Если мы немного изменим делитель, чтобы получить, например, вот такое выражение:

$\frac{{3x}^{4}\ –\ x^{3} + 11x^{2} + 6x + 5}{x^{2}\ –\ x + 4}$

То мы уже не получим ноль в конце решения в столбик. У нас появится остаток:

Остаток запишем следующим образом:

делимое = (делитель) х (частное) + (остаток)

В данном случае:

${3x}^{4}\ –\ x^{3} + 11x^{2} + 6x + 5 =$

$(x^{2}\ –\ x + 4)(\ {3x}^{2} + 2x + 1)\ –\ x\ + \ 1$