Квадратные уравнения

В общем виде оно выглядит следующим образом:

\(ax^{2} + bx + c = 0,\) где \(a \neq 0,\ b,\ c\) – некоторые числа.

ДИСКРИМИНАНТ:

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта \(D = b^{2} - 4ac\) по формулам:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}\ }{2a} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}\ }{2a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

- Если дискриминант больше нуля – уравнение имеет два корня.

- Если дискриминант равен нулю – уравнение имеет один корень.

- Если дискриминант меньше нуля – корней нет.

\(x^{2} = 6x\ –\ 5\)

• Способ 1:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

\(x^{2}\ –\ 6x\ + 5 = 0\)

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

\(D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 = 4^{2}\)

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{6 + 4\ }{2} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{6 - 4\ }{2}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ {\text{\ \ \ }x}_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответ: 5; 1.

СОКРАЩЁННЫЙ ДИСКРИМИНАНТ:

Существует второй способ решения квадратного уравнения. В случае, если коэффициент \(b\) – четное число, запишем его как \(2k\). Квадратное уравнение примет следующий вид:

\(ax^{2} + 2kx + c = 0\),\(\ a \neq 0,\ k,\ c\) – некоторые числа.

Тогда вместо дискриминанта D будем использовать сокращённый дискриминант \(\frac{D}{4}\), а формула его нахождения будет следующей:

\(\frac{D}{4} = k^{2}\ –\ ac\)

Корни уравнения определим так же через сокращённый дискриминант:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{- k + \sqrt{\frac{D}{4}}\ }{a} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{- k - \sqrt{\frac{D}{4}}\ }{a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

• Способ 2:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

\(x^{2}\ –\ 6x\ + 5 = 0\)

2. Выделим коэффициент k:

\(x^{2}\ –\ 2 \bullet 3x\ + 5 = 0\)

\(k = 3\)

3. Определим сокращённый дискриминант полученного уравнения:

\(\frac{D}{4} = 3^{2} - 1 \cdot 5 = 4 = 2^{2}\)

4. С помощью сокращённого дискриминанта найдем корни по формулам:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{3 + 2\ }{1} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{3 - 2\ }{1}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ {\text{\ \ \ }x}_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответ: 5; 1.

Как мы видим, ответ остался прежним, но числа, используемые при вычислениях, стали меньше. Это значит, что при работе с большими коэффициентами решение через сокращённый дискриминант уменьшает вероятность вычислительной ошибки.

ТЕОРЕМА ВИЕТА:

В некоторых случаях (например, \(a = 1\)) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}\ \\ \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ x}_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Важно, что теорему Виета можно использовать при любом ненулевом коэффициенте а, формула представлена в общем виде. Однако если \(a = 1,\) то чаще всего нужно работать с целыми числами, а не с дробными, что упрощает подбор.

Следствия из теоремы Виета:

Используя теорему Виета, можно увидеть взаимосвязь между коэффициентами b и c и знаками корней уравнения.

Коэффициент c показывает, будут ли одинаковыми знаки корней:

1. Если\(\ c > 0\), то корни\(\ x_{1}\) и \(x_{2}\ \) имеют одинаковый знак.

2. Если коэффициент \(c < 0\), корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут разных знаков.

Коэффициент b показывает, какой именно знак у корней, если он один, либо какой корень положительный, а какой отрицательный, если знаки разные.

3. Если \(x_{1} + x_{2} = - b > 0\) (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта:

а) либо оба корня положительны;

б) либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

4. Если\(\ x_{1} + x_{2} = - \ b < 0\) (т.е. сумма корней отрицательна), то опять же есть 2 варианта:

а) либо все корни отрицательны;

б) либо модуль положительного корня меньше модуля отрицательного.

\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} \cdot x_{2} = 6 \\ \ \\ \text{\ \ \ }x_{1} + x_{2} = 5\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Из следствий из т. Виета видим, что \(c > 0\), значит у корней одинаковые знаки.

Коэффициент \(b > 0\), значит оба корня положительные

2. Подберем \(x_{1},\ \ x_{2}\) так, чтобы оба равенства выполнялись.

Видим, что произведение больше нуля, значит, либо оба числа отрицательные, либо оба положительные. Сумма положительна, значит, оба положительные.

Произведение корней раскладываем всеми способами на множители:

\(6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 6\)

Через сумму делаем проверку:

\(2 + 3 = 5\)

\(1 + 6 = 7\)

В данном случае подходят числа

\(x_{1} = 2,\ \ x_{2} = 3\).

Ответ: 2; 3.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ:

• Если \(a + b + c = 0\), то \(x_{1} = 1,\ \ x_{2} = \frac{c}{a}\)

\(x^{2}\ + 3x\ –\ 4 = 0\)

1. Сложим все коэффициенты уравнения, чтобы проверить, является ли это уравнение примером частного случая. Действительно, коэффициенты в сумме дают 0:

\(1 + 3\ –\ 4 = 0\)

2. Тогда по правилу: \(x_{1} = 1,\ \ x_{2} = \frac{c}{a}\) получаем:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 1}{x_{2} = \frac{–4}{1}\ = \ –4} \right.\ \)

Ответ: 1; -4.

• Если \(a + c = b\), то \(x_{1} = \ –1,\ \ x_{2} = \ –\ \frac{c}{a}\)

\(x^{2}\ + 9x\ + 8 = 0\)

1. Сложим коэффициенты a и c, чтобы проверить уравнение на соответствие второму частному случаю. Действительно \(a + c = b\):

\(1 + 8 = 9\)

2. Тогда по правилу: \(x_{1} = \ –1,\ \ x_{2} = \ –\ \frac{c}{a}\) получаем:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = \ –1}{x_{2} = \ –\ \frac{8}{1}\ = \ –8} \right.\ \)

Ответ: – 1; – 8.

НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Неполное квадратное уравнение вида

\(ax^{2} + bx = 0.\)

Если отсутствует свободный член, то:

1.Раскладываем левую часть на множители:

\(x(ax + b) = 0\)

2. Приравниваем каждый из множителей к нулю:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \begin{matrix} \ \\ x = 0 \\ ax + b = 0 \\ \ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Решаем каждое из полученных уравнений, получаем:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ x = 0 \\ x = - \frac{b}{a} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Неполное квадратное уравнение вида

\(ax^{2} + c = 0.\)

Если отсутствует слагаемое с переменной в первой степени, то:

1.Делим левую и правую часть на коэффициент \(a \neq 0.\)

\(x^{2} + \frac{c}{a} = 0\)

2. Смотрим на знак слагаемого без переменной.

Если \(\frac{c}{a} < 0\), то раскладываем по формуле разности квадратов, приравниваем каждую из скобок к нулю и решаем полученные уравнения.

Если \(\frac{c}{a} = 0\), то получаем единственное решение \(x = 0.\)

Если \(\frac{c}{a} > 0\), то решений нет.