Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на отношения Вероятность
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Многочлены Одночлены Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Свойства степеней Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения
Анализ функций
Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Координатная плоскость Функции Свойства функций Кусочная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Линейная функция
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Рациональные неравенства
Планиметрия
Площади четырёхугольников Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Трапеция Четыре замечательные точки треугольника Симметрия Средняя линия Прямоугольник Биссектриса Серединный перпендикуляр Элементы планиметрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Виды треугольников Площадь круга и сектора круга Многоугольники Подобие фигур Медиана Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Ромб Тригонометрия в геометрии Высота Комбинации с окружностью Параллелограммы Теорема Пифагора Окружнoсть и круг
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней
Числа и действия с ними
Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая

Симметрия

Симметрия – это «отзеркаленное» положение чего-либо.

Симметрия бывает лучевая (через прямую) и центральная (через точку)

ЛУЧЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Линия симметрии – это прямая, по которой что-либо отражается.

Например,

Возьмем лист бумаги и отметим на нём точку. Сложим лист бумаги по линии. Тогда наша точка «отпечатается» на противоположной стороне от нее:

Линия сгиба и будет линией симметрии. Говорят, что точка симметрична относительно данной прямой.

Мы можем отражать любые точки относительно любых прямых, например:

Чтобы каждый раз не складывать мысленно листок бумаги, можно использовать общий принцип образования лучевой симметрии.

Чтобы отразить точку относительно линии симметрии нужно:

  1. Провести перпендикуляр от точки до линии симметрии. Получится отрезок от точки до линии.

  2. Продлить этот отрезок в два раза, чтобы линия симметрии оказалась на его середине.

  3. На конце продленного отрезка будет находиться точка, симметричная данной.

Например,

Отразить фигуру относительно линии симметрии – значит отразить каждую её точку.

Пример №1:

Отразите треугольник относительно заданной линии симметрии.

  1. Чтобы отразить весь треугольник, нужно отразить каждую её точку. Отразим три вершины треугольника.

  2. Проведем от каждой точки перпендикуляр к линии симметрии.

  3. Посчитаем длины этих перпендикуляров до каждой точки:

От точки А – 1 диагональ клетки

От точки В – 2 диагонали клетки

От точки С – 3 диагонали и еще половина

  1. Продлим каждый перпендикуляр на такую же длину. Получили что от каждой точки до их «отражений» будет:

От А – 2 диагонали

От В – 4 диагонали

От С – 7 диагоналей

  1. Соединим получившиеся точки на другой стороне от линии симметрии и получим треугольник симметричный данному.

\(\Delta АВС\ симметричен\ \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) по линии симметрии

СИММЕТРИЯ ФИГУР

Симметричная фигура – это фигура, которую можно сложить так, чтобы её вершины совпали.

Линию симметрии внутри фигуры называют осью симметрии.

Например:

Данные фигуры симметричный относительно своих осей симметрии:

А вот эти фигуры несимметричные. У них не осей симметрии такие фигуры называют ассиметричными:

При этом у одной фигуры может быть несколько осей симметрии. Например, у квадрата их четыре:

А вот у окружности есть бесконечное количество осей симметрии, т.к. любая прямая, проведенная через центр окружности, является осью её симметрии:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки.

Такая симметрия выстраивается аналогично лучевой симметрии, только теперь нужно проводить отрезок от точки к точке (без перпендикуляров) и продолжать этот отрезок на такую же длину. Например:

Точка В симметрична точке А относительно точки О.

Если все центральные симметрии фигуры пересекаются в одной точке, то такая точка называется центром фигуры.

Фигура, которая имеет центр, при повороте на 180⁰ совпадает сама с собой.

Например, любой овал или окружность имеют центр:

Прямоугольник и квадрат тоже имеют свои центры: