Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Анализ функций
Свойства функций Линейная функция Кусочная функция Квадратичная функция Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Координатная плоскость Функции
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Прямые и углы на плоскости Средняя линия Теорема Пифагора Высота Биссектриса Комбинации с окружностью Медиана Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Трапеция Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Прямоугольник Равенство фигур Простейшие расстояния на плоскости Окружнoсть и круг Ромб Подобие фигур Многоугольники Тригонометрия в геометрии Квадрат Параллелограммы Серединный перпендикуляр Виды треугольников Элементы планиметрии Четыре замечательные точки треугольника Симметрия
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней
Числа и действия с ними
Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей
Реальная математика
Вероятность Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение
Формулы и выражения
Свойства степеней Многочлены Формулы сокращённого умножения Одночлены Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Иррациональные выражения Степени Разложение на множители. Группировка

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя \(n\) раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

  1. Любое число в нулевой степени равно единице.

\(a^{0} = 1\)

  1. Любое число в первой степени равно самому себе.

\(a^{1} = a\)

  1. Единица в любой степени равна единице.

\(1^{n} = 1\)

  1. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

\(a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}\)

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

\(\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}\)

  1. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

\({{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}\)

  1. Степень произведения равна произведению степеней

\(\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}\)

  1. Степень частного равна частному степеней.

\(\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)

  1. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

\(a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}\)

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример №1:

\(\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9\)

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

Пример №2:

\(\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8\)

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

Пример №3:

\(\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4\)

Для удобства представим \(1 = 1^{- 2}\) (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

Пример №4:

\(\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\ \)

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).