Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на отношения Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Основы математической статистики
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Иррациональные выражения Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Одночлены Свойства степеней Многочлены Формулы сокращённого умножения
Анализ функций
Линейная функция Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Свойства функций Кусочная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Функции Функция квадратного корня
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Квадрат Тригонометрия в геометрии Высота Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Прямоугольник Теорема Пифагора Четыре замечательные точки треугольника Комбинации с окружностью Средняя линия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Симметрия Серединный перпендикуляр Виды треугольников Простейшие расстояния на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Подобие фигур Треугольники. Площади Биссектриса Площади четырёхугольников Многоугольники Ромб Трапеция Параллелограммы Медиана Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг
Уравнения
Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя \(n\) раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

  1. Любое число в нулевой степени равно единице.

\(a^{0} = 1\)

  1. Любое число в первой степени равно самому себе.

\(a^{1} = a\)

  1. Единица в любой степени равна единице.

\(1^{n} = 1\)

  1. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

\(a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}\)

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

\(\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}\)

  1. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

\({{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}\)

  1. Степень произведения равна произведению степеней

\(\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}\)

  1. Степень частного равна частному степеней.

\(\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)

  1. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

\(a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}\)

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример №1:

\(\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9\)

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

Пример №2:

\(\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8\)

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

Пример №3:

\(\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4\)

Для удобства представим \(1 = 1^{- 2}\) (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

Пример №4:

\(\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\ \)

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).