Кусочная функция

Например, рассмотрим две функции: \(y = 3x\ –\ 5\ \)и\(\ y = \frac{x}{2}\)

Данные функции не являются кусочными. Это две линейные функции. Построим их на одной координатной плоскости:

Можем сделать из двух функций одну, для этого зададим для каждой функции промежуток.

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x \geq 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Получим новую функцию, которая задается кусочками двух линейных. Она и будет являться кусочной. Чтобы её построить, рассмотрим таблицу точек для этих функции по отдельности.

1. y = 3x – 5, если x ≥ 2.

Из условия мы видим, что минимальный x равен 2. Точка x = 2 будет закрашенной, так как знак нестрогий. Меньше это точки мы брать не будем:

2. y = 0,5x, если x < 2.

Для данной функции x = 2 – будет максимальным значением, при этом x ≠ 2, так как знак неравенства строгий. Возьмем эту точку. На графике для этой функции она будет выколотой.

Видим, что закрашенная точка x = 2 у первого графика перекрывает пустую точку второго графика, значит у этой кусочной функции нет разрывов и она называется неразрывна.

Если задать другие промежутки для кусочной функции, она поменяет свой вид:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x \leq 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1. y = 3x – 5, если x ≤ 2.

Теперь у этой функции x = 2 – максимально возможная абсцисса:

2. y = 0,5x, если x > 2.

А для этой функции, наоборот, x = 2 – минимальная абсцисса. Аналогично первому примеру эта точка будет выколота, но перекроется точкой первого графика:

Кусочные функции, представленные выше, называются непрерывными, так как одна линейная функция заканчивается там, где начинается вторая, т.е. между кусочками функции нет разрыва.

Примером кусочной разрывной функции может служить следующая функция:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x > 2 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Этот график будет выглядеть так же, как график в примере №1, но с одним отличием. Точка x = 2 не принадлежит ни одной из функций, поэтому в этой точке как раз находится разрыв.

1. y = 3x – 5, если x > 2.

2. y = 0,5x, если x < 2.

Или, например, такая функция тоже является разрывной и кусочной:

\(y = \left\{ \begin{matrix} 3x\ –\ 5,\ если\ x > 3 \\ \frac{x}{2},\ если\ x < \ –2 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1. y = 3x – 5, если x > 3.

Здесь будем брать все значения x больше 3. Сама точка x = 3 будет выколотой:

2. y = 0,5x, при x < –2.

Значение x = –2 – максимальное. А сама эта точка тоже выколотая: