Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Свойства степеней Степени Буквенные выражения Многочлены Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены
Анализ функций
Свойства функций Функция квадратного корня Кусочная функция Квадратичная функция Координатная плоскость Линейная функция Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Функции
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Треугольники. Площади Подобие фигур Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Биссектриса Виды треугольников Ромб Трапеция Тригонометрия в геометрии Высота Параллелограммы Многоугольники Средняя линия Квадрат Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямые и углы на плоскости Медиана Площадь круга и сектора круга Симметрия Комбинации с окружностью Площади четырёхугольников Элементы планиметрии Прямоугольник Окружнoсть и круг Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения
Числа и действия с ними
Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними
Реальная математика
Основы математической статистики Текстовые задачи на сплавы и смеси Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на отношения Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на работу

Комбинации с окружностью

Около выпуклого многоугольника можно описать окружность или в него можно вписать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Описанная около многоугольника окружность – это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

1. В каждый треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

2. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр: \(r = \frac{S}{p},\ где\ p = \frac{a + b + c}{2}\)

4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен:

\(r = \frac{a + b\ –\ c}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  1. Около каждого треугольника можно описать окружность и при том только одну.

  2. Центром вписанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

  3. Радиус описанной около треугольника окружности равен произведению сторон треугольника, деленному на четыре его площади:

\(R = \frac{\text{abc}}{4S}\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ТРЕУГОЛЬНИКА:

  1. Остроугольный

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

  1. Прямоугольный

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

  1. Тупоугольный

Центр описанной окружности лежит вне треугольника.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Суммы противоположных сторон равны, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2} = \frac{a}{2}\)

  1. Ромб (как параллелограмм с равными сторонами)

\(r = \frac{h}{2}\)

  1. Трапеция (если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон)

\(r = \frac{h}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Суммы противоположных углов равны 180⁰, в частности, у следующих фигур:

  1. Квадрат (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

  1. Прямоугольник (как параллелограмм с равными углами)

\(R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\)

  1. Равнобедренная трапеция

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Любой правильный шестиугольник можно вписать в окружность и описать около нее, т.к. все его углы и стороны соответственно равны.

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного шестиугольника совпадают.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\(r = \frac{h}{2}\)

При этом высота правильного шестиугольника равна двум высотам правильного многоугольника со стороной a:

\(h = 2\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Тогда через сторону шестиугольника радиус вписанной окружности равен:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника (как сторона правильного треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник):

\(R = a\)