Многочлены

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трех членов – трехчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены – биномами.

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Найдем значение многочлена \(- 0,3x^{2}y - x^{3} + 7y\) при \(x = - 0,2\ ,\ y = - 1\).

Решение:

Подставим вместо переменных данные в условии значения:

\(- 0,3x^{2}y - x^{3} + 7y = - 0,3 \bullet \left( - 0,2 \right)^{2} \bullet \left( - 1 \right) - \left( - 0,2 \right)^{3} + 7 \bullet \left( - 1 \right) = 0,012 + 0,008 - 7 = - 6,98\)

Ответ: -6,98.

СТАНДАРТНЫЙ ВИД МНОГОЧЛЕНА

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных слагаемых основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

Например,

Привести подобные члены многочлена \(13x^{2}y + 4 + 8xy - 6x^{2}y - 9\)

Решение:

Сгруппируем подобные слагаемые и посчитаем

В многочлене \(7x^{2}y + 8xy - 5\)каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Определить степень многочлена \(a^{6} + 2a^{2}b - a^{6} + 1\).

Решение:

Для этого приведем многочлен к стандартному виду:

\(a^{6} + 2a^{2}b - a^{6} + 1 = 2a^{2}b + 1\)

Степень данного многочлена равна трем. Значит, и степень заданного многочлена тоже равна трем.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается неопределенной.

Стандартная запись многочлена n-ой степени:

\(a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + a_{2}x^{n - 2} + \ldots + a_{n - 2}x^{2} + a_{n - 1}x^{} + a_{n}\),

где x – переменная,

\(a_{0}\),\(\ a_{1}\),\(\ a_{2}\), … , \(a_{n - 1}\),\(\ a_{n}\) – произвольные числа

\(n \in N\ \ или\ n = 0\)

Коэффициент при \(x^{n}\) называют старшим коэффициентом (в нашем случае это \(a_{0}\)).

СУММА, РАЗНОСТЬ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

1. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Например,

раскроем скобки согласно правилу и приведем подобные слагаемые

\(\left( a^{3} - 7a^{2} - 1 \right) + \left( 3a^{3} - a^{2} + 6 \right) = a^{3} - 7a^{2} - 1 + 3a^{3} - a^{2} + 6 = 4a^{3} - 8a^{2} + 5\)

2. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого на противоположный.

Например,

раскроем скобки согласно правилу и приведем подобные слагаемые

\(\left( {5b}^{2} - b + 1 \right) - \left( 8b^{2} - 3b - 6 \right) = {5b}^{2} - b + 1 - 8b^{2} + 3b + 6 = \ - 3b^{2} - 4b + 7\)

Иногда требуется решить обратную задачу – представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются следующими правилами:

1. Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
2. Если перед скобками ставится знак «минус», то у всех членов, заключаемых в скобки, нужно изменить знак на противоположный.

Представить \(5x - 3y + 1\) в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно\(\ 5x\).

Решение:

Оставим \(5x\), а остальное заключим в скобки по правилу со знаком «плюс»

\(5x - 3y + 1 = 5x + ( - 3y + 1)\)

Аналогично, представим разность:

Оставим \(5x\), а остальное заключим в скобки по правилу со знаком «минус»

\(5x - 3y + 1 = 5x - (3y - 1)\)

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножить одночлен \(- 3\text{xy}\) на многочлен \(2x^{2}y + 4xy^{2} - 1\).

Решение:

Умножим каждый член многочлена на \(- 3\text{xy}\)

\(- 3\text{xy} \bullet \left( 2x^{2}y + 4xy^{2} - 1 \right) = - 3\text{xy} \bullet 2x^{2}\text{y\ }\)