Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Рациональные неравенства
Планиметрия
Трапеция Серединный перпендикуляр Окружнoсть и круг Биссектриса Комбинации с окружностью Высота Симметрия Четыре замечательные точки треугольника Многоугольники Тригонометрия в геометрии Элементы планиметрии Ромб Виды треугольников Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площадь круга и сектора круга Средняя линия Медиана Параллелограммы Прямоугольник Равенство фигур Треугольники. Площади Подобие фигур Теорема Пифагора Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников
Уравнения
Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения
Числа и действия с ними
Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Введение в текстовые задачи Основы математической статистики
Формулы и выражения
Одночлены Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Свойства степеней Многочлены Иррациональные выражения Буквенные выражения Разложение на множители. Группировка Формулы сокращённого умножения
Анализ функций
Координатная плоскость Функции Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Функция обратной пропорциональности Преобразование графиков функции Свойства функций Функция квадратного корня Кусочная функция

Смешанные дроби и действия с ними

Смешанные дроби – это дроби, в записи которых есть целые числа. Любую смешанную дробь можно представить неправильной дробью.

Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. В таком случае у дроби выделяется целая часть и её можно записать в виде смешанной.

Например,

\(\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}\)

1 – целая часть, а \(\frac{3}{4}\) – дробная часть смешанного числа \(1\frac{3}{4}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:

  1. Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.

  2. Неполное частное будет целой частью.

  3. Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель - знаменателем.

Например,

Переведем неправильную дробь \(\frac{48}{9}\) в смешанную:

Неполное частное \(= 5\), остаток \(= 3,\) делитель \(= 9\), тогда эту неправильную дробь можно записать как: \(5\frac{3}{9}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:

  1. Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.

  2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

  3. Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

Переведем смешанную дробь \(4\frac{5}{7}\) в неправильную:

Числитель неправильной дроби будет равен

\((4 \bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33\).

Знаменатель останется прежний и будет равен 7.

Получим: \(4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:

При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.

  1. Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.

Например:

\(5\frac{3}{8} + 2\frac{6}{8} = (5 + 2) + (\frac{3}{8} + \frac{6}{8}) = 7 + \frac{9}{8} = 7 + 1\frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}\)

  1. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = (7 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1\frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + \frac{8}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5}\)

Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной. Теперь можно считать разность:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5} = (6\ –\ 2) + (\frac{8}{5}\ –\ \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)

  1. Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.

Например:

\(3\ –\ 1\frac{2}{6} = (2 + \frac{6}{6})\ –\ 1\frac{2}{6} = (2\ –\ 1) + (\frac{6}{6}\ –\ \frac{2}{6}) = 1\frac{4}{6}\)