Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Трапеция Высота Подобие фигур Многоугольники Площадь круга и сектора круга Средняя линия Площади четырёхугольников Прямые и углы на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Биссектриса Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Виды треугольников Прямоугольник Серединный перпендикуляр Медиана Простейшие расстояния на плоскости Симметрия Окружнoсть и круг Ромб Треугольники. Площади Тригонометрия в геометрии Параллелограммы Элементы планиметрии
Уравнения
Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Числа и действия с ними
Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Текстовые задачи на сплавы и смеси Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Разложение на множители. Группировка Многочлены Формулы сокращённого умножения Одночлены Степени Свойства степеней
Анализ функций
Квадратичная функция Координатная плоскость Функции Функция квадратного корня Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Свойства функций Кусочная функция Функция обратной пропорциональности

Смешанные дроби и действия с ними

Смешанные дроби – это дроби, в записи которых есть целые числа. Любую смешанную дробь можно представить неправильной дробью.

Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. В таком случае у дроби выделяется целая часть и её можно записать в виде смешанной.

Например,

\(\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}\)

1 – целая часть, а \(\frac{3}{4}\) – дробная часть смешанного числа \(1\frac{3}{4}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:

  1. Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.

  2. Неполное частное будет целой частью.

  3. Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель - знаменателем.

Например,

Переведем неправильную дробь \(\frac{48}{9}\) в смешанную:

Неполное частное \(= 5\), остаток \(= 3,\) делитель \(= 9\), тогда эту неправильную дробь можно записать как: \(5\frac{3}{9}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:

  1. Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.

  2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

  3. Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

Переведем смешанную дробь \(4\frac{5}{7}\) в неправильную:

Числитель неправильной дроби будет равен

\((4 \bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33\).

Знаменатель останется прежний и будет равен 7.

Получим: \(4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:

При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.

  1. Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.

Например:

\(5\frac{3}{8} + 2\frac{6}{8} = (5 + 2) + (\frac{3}{8} + \frac{6}{8}) = 7 + \frac{9}{8} = 7 + 1\frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}\)

  1. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = (7 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1\frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + \frac{8}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5}\)

Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной. Теперь можно считать разность:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5} = (6\ –\ 2) + (\frac{8}{5}\ –\ \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)

  1. Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.

Например:

\(3\ –\ 1\frac{2}{6} = (2 + \frac{6}{6})\ –\ 1\frac{2}{6} = (2\ –\ 1) + (\frac{6}{6}\ –\ \frac{2}{6}) = 1\frac{4}{6}\)