Основы математической статистики

Работа с основными статистическими терминами обычно осуществляется с какими-либо данными. Например, в классе взвешивали учеников. Вес каждого из них – это данные взвешивания. Для удобства такие данные выписывают в ряд, перечисляя все полученные результаты. Он будет называться числовым рядом.

Именно числовой ряд и анализируют, используя статистические термины и методы.

РАЗМАХ И ЧАСТОТА:

Такая характеристика как размах показывает, на сколько отличаются друг от друга элементы ряда.

Представим числовой ряд, состоящий из натуральных чисел:

3, 11, 18, 18, 22, 37, 37, 37, 89

В данном случае наибольшим числом является 89, а наименьшим 3.

3, 11, 18, 18, 22, 37, 37, 37, 89

Тогда размах данного ряда равен \(89–3 = 86\).

Например, частота числа 3 – 1 раз. А вот число 18 встречается 2 раза.

МОДА И МЕДИАНА:

Чтобы понять, какие средние и популярные значения присутствуют в ряду, используют такие характеристики числового ряда как мода и медиана.

В данном случае это число 37. Оно встречается три раза. Чаще него ни одно другое число не встречается. Значит оно и есть мода.

3, 11, 18, 18, 22, 37, 37, 37, 89

Например, в нашем ряде это число 22.

3, 11, 18, 18, 22, 37, 37, 37, 89

Оно является медианой, потому что в этому ряду существует четыре числа меньше числа 22 и четыре числа больше 22.

Поэтому важно выстраивать элементы по порядку, чтобы сразу заметить медиану.

Если мы добавим еще одно число в наш ряд, например допишем число 15, получим 10 чисел в ряду. Тогда по середине ряда будут находиться уже два числа: 22 и 18:

3, 11, 15, 18, 18, 22, 37, 37, 37, 89

В таком случае, если в ряду находится нечетное количество элементов, его медианой будет среднее арифметическое этих элементов.

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ:

Оно находится по следующей формуле:

Эта запись означает, что чтобы найти среднее арифметическое ряда чисел, нужно сложить все его элементы и разделить на их количество.

Найдем среднее арифметическое пятого и шестого элемента нашего ряда. Оно будет являться медианой, т.к. оба эти элементы стоят в середине ряда:

3, 11, 15, 18, 18, 22, 37, 37, 37, 89

\(m = \frac{18 + 22}{2} = \frac{40}{2} = 20\)

Действительно, если заменить сумму этих элементов на сумму такого же количества средних арифметических, то эта сумма не изменится.

\(18 + 22 = 20 + 20\)

Найдем среднее арифметическое всего ряда. Для этого сложим все элементы и поделим уже на их количество:

\(\overline{a_{x}} = \frac{3 + 11 + 15 + 18 + 18 + 22 + 37 + 37 + 37 + 89}{10} = \frac{287}{10} = 28,7\)

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ:

Оно находится по формуле:

\(\overline{g_{x}} = \sqrt[n]{x_{1}x_{2}x_{3} \bullet ... \bullet x_{n}}\)

Это значит, что чтобы найти среднее геометрическое, нужно перемножить все элементы ряда и извлечь произведение из корня, степень которого равна их количеству.

Возьмем ряд с меньшими количеством элементов:

1, 3, 3, 5, 8

Найдем его среднее геометрическое:

\(\overline{g_{x}} = \sqrt[5]{1 \bullet 3 \bullet 3 \bullet 5 \bullet 8} = \sqrt[5]{360} \approx 3,25\)

В конце года ученику важно получить хорошую оценку за четверть. У него имеются следующие оценки по математике:

4, 3, 5, 5, 4, 4, 2, 4, 5, 5, 3, 4

Полностью проанализируем его оценки, используя статистические характеристики.

1. Для начала сделаем ряд ранжированным, т.е. расставим все его элементы по порядку:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5

2. Определим размах ряда. Ученик получал все возможные оценки за четверть и как мы видим, наибольшей является оценка 5, а наименьшей – 2. Тогда размах равен 5 – 2 = 3.

3. Определим моду ряда. Самой часто встречающейся оценкой является оценка 4. Её частота – 5.

4. При этом частота оценки 5 ненамного меньше и равна четырем.

5. Медианой данного ряда будет являться число по середине. Всего у нас 12 элементов ряда, тогда средними значениями будут являть шестой и седьмой элементы.

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5

Для определения медианы из двух средних значений найдем их среднее арифметическое:

\(m = \frac{4 + 4}{2} = 4\)

Из-за того, что элементы равны между собой, их среднее арифметическое будет таким же. Медиана этого ряда – 4

6. Среднее арифметическое ряда:

\(\overline{a_{x}} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5}{12} = \frac{48}{12} = 4\)

7. Среднее геометрическое ряда:

\(\overline{g_{x}} = \sqrt[12]{2 \bullet 3 \bullet 3 \bullet 4 \bullet 4 \bullet 4 \bullet 4 \bullet 4 \bullet 5 \bullet 5 \bullet 5 \bullet 5} = \sqrt[12]{11520000} \approx 3,88\)

Таким образом мы определили, что за четверть ученик получит среднее арифметическое всех оценок, то есть 4.

Чаще всего ученик получал оценку 4, и она же является медианой. При этом ученик получал за четверть всевозможные оценки, от двоек до пятерок. Среднее геометрическое всех оценок тоже близко к 4.

По-разному проанализировав успеваемость ученика, можно убедиться в точном результате его работы. Ученику можно смело ставить четверку.