Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Многочлены Иррациональные выражения Одночлены Степени Буквенные выражения Свойства степеней Формулы сокращённого умножения
Анализ функций
Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Преобразование графиков функции Свойства функций Функция квадратного корня Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Функции
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Теорема Пифагора Площадь круга и сектора круга Площади четырёхугольников Многоугольники Ромб Виды треугольников Биссектриса Подобие фигур Медиана Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Высота Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Прямоугольник Треугольники. Площади Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Элементы планиметрии Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Окружнoсть и круг Равенство фигур Трапеция Симметрия Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Квадрат Четыре замечательные точки треугольника
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения
Числа и действия с ними
Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Вероятность Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Введение в текстовые задачи Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны ― катетами (a и b).

Напротив большего угла любого треугольника лежит большая сторона, следовательно гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\)

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\), то такой треугольник является прямоугольным.

Например, чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24, 25 - прямоугольный, используем теорему, обратную теореме Пифагора:

\(7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}\)

следовательно треугольник со сторонами 7, 24, 25 – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Аналогично проверим, является ли прямоугольным треугольник со сторонами 5, 10, 12:

\(5^{2} + 10^{2} = 25 + 100 = 125 \neq 144 = 12^{2}\)

Следовательно треугольник со сторонами 5, 10, 12 – не прямоугольный.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ:

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон.

Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 точно является прямоугольным (гипотенузой является большая сторона, следовательно она равна 5). Это можно проверить, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

\(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}\ \)

Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например:

\({3:4:5 }{5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }{9:40:41 }{12:35:37 }{20:21:49 }\)

Достаточно запомнить несколько отношений, которых обычно достаточно для работы с прямоугольными треугольниками на экзамене:

\({5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }\)

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение.

Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: \(3:4:5\ (х3) = 9:12:15\) – тоже Пифагорова тройка или \(7:24:25\ (х2) = 14:28:50\).

Главное - чтобы все числа Пифагоровой тройки умножались на одно и то же число, отличное от нуля.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Также мы можем выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным и часто применяется в математике.

В треугольнике с углами 30⁰, 60⁰, 90⁰ катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Тогда если один катет равен а, то гипотенуза 2а. Второй катет можно посчитать по теореме Пифагора:

\(\sqrt{\left( 2a \right)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}\).

В треугольнике с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰ катеты равны. Тогда если один катет равен а, то и второй катет равен а. Гипотенузу можно посчитать по теореме Пифагора:\(\ \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}\).

Для удобства на курсах первый треугольник в этой таблице мы называем золотым, а второй – серебряным.