Окружнoсть и круг

Окружность и круг

Окружность – это замкнутая линия, а круг – это площадь, находящаяся внутри окружности:

Длина окружности равна:

$l = 2\pi R = \text{dπ}$

где $R$ – это радиус, а $D$ – диаметр окружности

ЭЛЕМЕНТЫ ОКРУЖНОСТИ:

Центр окружности – точка O.

Радиус окружности – отрезок R, соединяющий точку окружности с центром. Все радиусы одной окружности равны.

Хорда – это отрезок АВ, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр – это хорда d, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

ДУГА И СЕКТОР:

Понятия дуга и сектор связаны между собой как круг и окружность. Дуга – это линия, а сектор – площадь, которая ей соответствует.

Говорят, что дуга опирается на хорду АВ.

Длина дуги равна:

$l_{\text{AB}} = 2\pi R \bullet \frac{\alpha}{360{^\circ}} = \frac{\text{πRα}}{180{^\circ}}$

где $\frac{\alpha}{360{^\circ}}$ показывает, какую часть от всей окружности занимает дуга

КАСАТЕЛЬНАЯ:

Свойства касательной:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:

$a\bot OA,\ A \in a,\ OA = R$

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны до точек касания.

$CA = CB,\ a,\ b\ –\ касательные$

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАНЫЕ УГЛЫ:

С окружностью связано два вида углов – вписанные и центральные. Рассмотрим такую окружность:

На данном чертеже угол АОС является центральным, а угол АВС – вписанным.

Свойства вписанного угла:

1. Измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

Свойства центрального угла:

1. Измеряется дугой, на которую опирается;

2. Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.

КОМБИНАЦИИ ХОРД, КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ:

• ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ХОРД

Хорды AB и CD пересекаются в точке M

1. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны:

$AM \bullet MB = CM \bullet MD$

2. Угол между двумя пересекающихся хорд равен полусумме высекаемых ими дуг:

$\angle AMD = \angle CMD = \frac{дуга\ AD + дуга\ \text{CB}\ }{2}$

• ХОРДА И КАСАТЕЛЬНАЯ

Прямая AB касается окружности в точке B, BC – хорда.

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:

$\angle ABC = \frac{дуга\text{\ BC}}{2}$

• КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ

Прямая АС – касательная, прямая AD – секущая, пересекающая окружность в точках B и D.

1. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной:

$AB \bullet AD = \text{AC}^{2}$

2. Угол между секущей и касательной равен полуразности высекаемых ими дуг:

$\angle DAC = \frac{дуга\ DC\ –\ дуга\ \text{CB}}{2}$

• УГОЛ МЕЖДУ СЕКУЩИМИ

AD и AE – секущие, выходящие из одной точки, пересекающие окружность в точках В и С соответственно.

Угол между секущими равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:

$\angle BAC = \frac{дуга\ \text{DE}\ –\ дуга\ \text{BC}}{2}$