Текстовые задачи на движение

В задачах на движение чаще всего присутствуют два объекта. В таких заданиях нужно понимать, как двигаются два объекта: идут в одну сторону или в разные. В зависимости от разных факторов могут меняться их характеристики движения: скорость, время и расстояние. Рассмотрим все случаи подробнее.

ДВИЖЕНИЕ В РАЗНЫЕ СТОРОНЫ

В таком случае не важно, двигаются ли объекты друг к другу или расходятся друг от друга, важно, что они идут в разные стороны. Результат остается такой же.

Рассмотрим ситуацию, когда два человека находятся в одной точке и начинают удаляться друг от друга, при этом скорость каждого составляется 5 км\ч. Тогда через один час каждый из них пройдет по 5 км. Значит через один час между ними станет 5 км + 5 км = 10 км:

Еще через час они отдалятся еще на 10 км. То есть через два часа расстояние между ними станет равно 20 км:

То есть при движении в разные стороны общая скорость отдаления объектов друг от друга равна сумме их скоростей. В данном случае общая скорость равна 10 км\ч:

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2} = 5\ км\backslash ч + 5\ км\backslash ч = 10\ км\backslash ч\)

Таким образом, если нам нужно посчитать, какое расстояние будет между этими объектами через определенное время, нам нужно перемножить их общую скорость и время отдаления.

\(S = \ \vartheta_{общ}t\)

где \(\text{S\ }\)– расстояние между объектами, \(t\) – время, за которое они отдаляются, \(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2}\)

Например, через 3 часа расстояние между этими объектами будет равно:

\(S = 10\ км\backslash ч \bullet 3\ ч = 30\ км\)

То же самое происходит со средней скоростью, когда два объекта находятся на определенном расстоянии и начинают сближаться.

Два человека находятся на расстоянии 16 км и начинают идти навстречу друг другу. Скорость первого человека равна 3 км\ч, а второго – 5 км\ч. Через сколько часов они встретятся?

1. Рассмотрим, какова их скорость сближения. Для этого посмотрим, на сколько измениться расстояние между ними за один час:

Получается, что расстояние между двумя людьми уменьшилось за час на \(3 + 5 = 8\ км\backslash ч\), то есть на сумму их скоростей. Так мы убедились, что общая скорость расхождения и сближения объектов равна сумме их скоростей.

2. Тогда эти люди встретятся, когда общей скоростью пройдут расстояние в 16 км, т. е.:

\(S = t \bullet \vartheta_{общ}\)

\(16\ км = t \bullet 8\ км\backslash ч\)

\(t = 16\ км : 8\ км\backslash ч = 2\ ч\)

Ответ: 2.

ДВИЖЕНИЕ В ОДНУ СТОРОНУ

Если два человека начинают идти из одной точки в одну сторону с разной скорость, то тот, кто идет медленнее начнет отставать от того, кто идет быстрее. Со временем расстояние между ними будет становиться все больше. Каждый час оно будет расти на разность скоростей людей. Эта разность скоростей будет их общей скоростью.

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{2}\ –\vartheta_{1}\)

Например, два человека идут из одной точки в одном направлении. Скорость первого равна 4 км\ч, а скорость второго равна 6 км\ч. То есть быстрый пешеход пройдет 6 км, а медленный 4. Значит между ними останется 2 км:

Еще через час расстояние между ними увеличится еще на 2 км:

ДВИЖЕНИЕ ПО ВОДЕ

При движении по воде нужно учитывать два вида движения: по течению воды и против течения воды. Т. к. вода движется с какой-то скоростью, которой мы называем скоростью течения, она может помогать плыть какому-либо объекту быстрее, а может мешать движению, тормозить его.

– При движении по течению воды, скорость объекта складывается со скоростью течения воды.

\(\vartheta_{по\ теч.} = \vartheta + \vartheta_{теч.}\)

– При движении против течения воды, из скорости объекта вычитается скорость течения воды.

\(\vartheta_{против} = \vartheta\ –\ \vartheta_{теч.}\)

Лодка плывет со скоростью 32 км/ч. Найдите:

1. скорость движения лодки по течению, если скорость течения равна 3 км/ч.
2. скорость движения лодки против течения, если скорость течения равна 1 км/ч.

1. Найдем ответ к пункту а). Чтобы найти скорость объекта, который движется по течению, нужно сложить скорость течения со скоростью объекта:

\(\vartheta_{по\ теч.} = \vartheta + \vartheta_{теч.} = 32\ км/ч + 3\ км/ч = 35\ км/ч\)

2. Найдем ответ к пункту б). Чтобы найти скорость объекта, который движется против течения, нужно найти разницу скоростей объекта и течения:

\(\vartheta_{против} = \vartheta\ –\ \vartheta_{теч.} = 32\ км/ч\ –1\ км/ч = 31\ км/ч\)

Ответ: а) 35 км/ч; б) 31 км/ч

Катер плывет со скоростью 6 км/ч из пристани А в пристань В и возвращается обратно. Расстояние между пристанями равно 24 км. Через сколько часов катер вернется обратно в пристань А, если скорость течения воды равна 2 км/ч?

1. Если катер будет плыть сначала в одном направлении, а потом развернется и поплывет обратно, значит в одну сторону он будет плыть по течению воды, а в другую – против. Найдем время, которое потратил катер на движение по воде. Для этого найдем общую скорость его движения:

\(\vartheta_{по\ теч.} = \vartheta + \vartheta_{теч.} = 6\ км/\ ч + 2\ км/ч = 8\ км/ч\)

2. Зная расстояние между пристанями и скорость движения катера в одну из сторон, найдем время, которое затратил катер, чтобы пройти это расстояние:

\(t_{1} = S : \vartheta_{по\ теч.} = 24\ км : 8\ км/ч = 3\ ч\)

3. Аналогично найдем скорость движение катера против течения воды:

\(\vartheta_{против} = 6\ км/ч\ –2\ км/ч = 4\ км/ч\)

4. И найдем время, которое катер портил на обратный путь:

\(t_{2} = S : \vartheta_{против} = 24\ км : 4\ км/ч = 6\ ч\)

5. Чтобы найти время, которое катер затратил на всю дорогу, сложим найденное время:

\(t_{1} + t_{2} = 3\ ч + 6ч = 9\ ч\)

Ответ: 9.