Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения
Числа и действия с ними
Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение Основы математической статистики Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Одночлены Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Свойства степеней Многочлены Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения
Анализ функций
Линейная функция Кусочная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Функции Свойства функций
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Трапеция Четыре замечательные точки треугольника Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Элементы планиметрии Ромб Тригонометрия в геометрии Медиана Площадь круга и сектора круга Параллелограммы Средняя линия Окружнoсть и круг Высота Виды треугольников Треугольники. Площади Подобие фигур Равенство фигур Биссектриса Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Прямоугольник Симметрия Многоугольники Комбинации с окружностью

Формулы Сокращенного Умножения

Тема, которая может встретиться во многих темах, вынесенных на экзамен – ФСУ. Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение \(2x^{2}y + \text{xy}^{2}\):

  1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это \(\text{xy}\).

  2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

\(2x^{2}y + xy^{2} = xy\left( \frac{2x^{2}y}{\text{xy}} + \frac{xy^{2}}{\text{xy}} \right) = xy\left( 2x + y \right)\ \)

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

\(- 2t^{2} - t = - t\left( 2t + 1 \right)\)

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения \(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}\).

  1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

\(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = \left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right)\)

  1. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

\(\left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right) = 7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b(5 + b^{2})\)

  1. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

\(7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b\left( 5 + b^{2} \right) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2})\)

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z\).

  1. Группируем отдельные слагаемые.

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + (26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z)\)

  1. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right) = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})\)

  1. Выносим повторяющиеся скобки.

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) = (13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})(1 + 2z)\)

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида \(ax^{2} + bx + c\), где \(a \neq 0,\ b,\ c\) – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

\(ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})\)

В котором \(x_{1},\ x_{2}\) – корни уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\).

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение \(x^{2} + 3x - 4\)

  1. Определим корни уравнения \(x^{2} + 3x - 4 = 0\) с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = 1 \\ \text{\ \ } \\ \ \text{\ \ x}_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \)

  1. Подставим найденные корни в формулу \(\text{\ a}x^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})\). В данном случае \(a = 1\).

\(x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x - 4)\)

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы, по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Название Формула
Разность квадратов \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\)
Квадрат разности \(\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
Квадрат суммы \(\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
Разность кубов \(a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\)
Сумма кубов \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)
Куб разности \(\left( a - b \right)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\)
Куб суммы \(\left( a + b \right)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)

Замечательным свойством этих правил является то, что, если вместо \(a,b\) стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

  1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

  2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

  3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

\(4m^{2} + 4mn + n^{2}\)

  1. Выражение похоже на квадрат суммы.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(4m^{2} + 4mn + n^{2} = \left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2}\)

  1. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\(\left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2} = \left( 2m + n \right)^{2}\)

Пример 2

\(27x^{3} - 8y^{3}\)

  1. Выражение похоже на разность кубов.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(27x^{3} - 8y^{3} = \left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3}\)

  1. Воспользуемся формулой разности кубов:

\(\left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3} = \left( 3x - 2y \right)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2})\)

Пример 3

\(25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4}\)

  1. Выражение похоже на разность квадратов.

  2. Преобразуем отдельные слагаемые:

\(25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4} = \left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2}\)

  1. Воспользуемся формулой разности квадратов:

\(\left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2} = (5xy - p^{3}z^{2})(5xy + p^{3}z^{2})\)

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение \(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}}\) :

  1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

\(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}} = \frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}}\)

  1. Сократим повторяющиеся элементы.

\(\frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}} = \frac{x}{x - y}\)