Разложение на множители. Группировка

Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

ВЫНЕСЕНИЕ ЗА СКОБКИ:

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы.

Разложим на множители выражение \(2x^{2}y + xy^{2}\).

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это xy.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

\(2x^{2}y + xy^{2} = xy\left( \frac{2x^{2}y}{\text{xy}} + \frac{xy^{2}}{\text{xy}} \right) = xy(2x + y)\)

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

\(–2t^{2}\ –\ t = \ –t(2t + 1)\)

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

ГРУППИРОВКА:

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать.

\(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}\)

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку:

\(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = (35a^{2} + 7a^{2}b^{2}) + (5b + b^{3})\)

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки:

\((35a^{2} + 7a^{2}b^{2}) + (5b + b^{3}) = 7a^{2}(5 + b^{2}) + b(5 + b^{2})\)

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения в скобках точно так же, как выносятся одночлены:

\(7a^{2}(5 + b^{2}) + b(5 + b^{2}) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2})\)

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых.

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z\)

1. Группируем отдельные слагаемые:

\(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z =\)

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right)\)

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только 1:

\(\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right) =\)

\( {1 \bullet \left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) +}\)

\(2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})\)

3. 3.Выносим повторяющиеся скобки:

\(1 \bullet \left( 13\text{xy} + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z\left( 13\text{xy} + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) = \left( 13\text{xy} + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right)(1 + 2z)\)

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА:

Выражения вида \(ax^{2} + bx + c\), где \(a \neq 0,\ b,\ c\) – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

\(ax^{2} + bx + c = a(x\ –x_{1})(x\ –\ x_{2})\)

где \(x_{1}\) и \(x_{2}\) корни уравнение \(ax^{2} + bx + c = 0\)

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение

\(x^{2} + 3x\ –\ 4\)

1. Определим корни уравнения \(x^{2} + 3x\ –\ 4 = 0\) с помощью дискриминанта или по теореме Виета:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 1}{x_{2} = \ –4} \right.\ \)

2. Подставим найденные корни в формулу

\(ax^{2} + bx + c = a(x\ –x_{1})(x\ –\ x_{2})\).

В данном случае

\(a = 1\).

\(x^{2} + 3x\ –\ 4 = (x\ –\ 1)(x + 4)\)

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ:

Раскладывать на множители в некоторых уравнениях удобно по тому, что у произведения двух выражений есть полезное свойство:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие не теряют смысла.

\(5x^{2}\ –\ 15x = 0\)

1. Вынесем за скобки повторяющееся выражение:

\(5x^{2}\ –\ 15x = 0\)

\(5x(x\ –\ 3) = 0\)

2. Если произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю, тогда:

\(5x = 0\)

\(x = 0\)

или

\(x\ –\ 3 = 0\)

\(x = 3\)

Ответ: 0; 3.