Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Уравнения
Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Числа и действия с ними
Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы математической статистики Вероятность
Формулы и выражения
Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Разложение на множители. Группировка Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены Свойства степеней Многочлены
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Преобразование графиков функции Координатная плоскость Функции Свойства функций Функция квадратного корня Линейная функция Кусочная функция
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Подобие фигур Медиана Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Многоугольники Трапеция Параллелограммы Квадрат Ромб Тригонометрия в геометрии Симметрия Площади четырёхугольников Виды треугольников Равенство фигур Треугольники. Площади Элементы планиметрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Высота Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Средняя линия Окружнoсть и круг Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости

Тригонометрия в геометрии

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии, в частности – в задачах, связанных с углами. Проще всего изучать углы в треугольнике, а конкретно – в прямоугольном треугольнике. Как раз из отношения сторон прямоугольного треугольника и появились функции синус, косинус, тангенс и котангенс.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и острыми углами \(\alpha\ и\ \beta\):

1. Синус и косинус:

  • Синус угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α противолежащим катетом является сторона а, для угла β – сторона b.

Тогда:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\sin\beta = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

  • Косинус угла – отношение длин прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α прилежащим катетом является сторона b, для угла β – катет a.

Тогда:

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\frac{b}{c}\)

\(\cos\beta = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

Из-за того, что прилежащая сторона к одному углу является противоположной для другого угла, синус и косинус для углов \(\alpha\ и\ \beta\) повторяются:

\(\sin\alpha = \cos\beta\)

\(\cos\alpha = \sin\beta\)

Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла.

Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла.

2. Тангенс и котангенс:

  • Тангенс угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к прилежащему. Оно же равно отношению синуса этого угла к косинусу.

\(\text{tg\ α} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

\(tg\ \beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

  • Котангенс – отношение длин прилежащего этому углу катета к противолежащему. Оно же равно отношению косинуса этого угла к синусу.

\(\text{ctg\ }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

\(ctg\ \beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

Так же как для синуса и косинуса, тангенс и котангенс повторяются у двух острых углов прямоугольного треугольника:

\(tg\ \alpha = ctg\beta\)

\(\text{ctg\ α} = tg\ \beta\)

Тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен котангенсу другого острого угла.

Котангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен тангенсу другого острого угла.

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО:

Основное тригонометрическое тождество (ОТТ) – это выражение, которое связывает синус и косинус одного угла:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)

Докажем это тождество, используя теорему Пифагора.

1. Рассмотрим тригонометрические функции угла α:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

2. Подставим эти отношения вместо тригонометрических функций. Получим:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = \ \left( \frac{a}{c} \right)^{2} + \left( \frac{b}{c} \right)^{2} = \ \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}\)

3. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит:

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1\)

Что и требовалось доказать.