Иррациональные уравнения

ПЕРВЫЙ ТИП ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «КОРЕНЬ=ЧИСЛО»:

\(\sqrt{f(x)} = a\)

Решение:

\(\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ a \geq 0 \\ f(x) = a^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Для решения записываем ОДЗ и возводим обе части в степень корня. Первое неравенство выполняется, потому что в уравнении функция равна квадрату, который, как мы знаем, всегда неотрицательный. Пока 𝑎 – число, мы можем не писать никаких условий и сразу возводить в квадрат.

\(\sqrt{f(x)} = a \Leftrightarrow \ f(x) = a^{2}\)

Решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = 6\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии, что они неотрицательные.

\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ 6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Определить знак числа справа можно сразу, 6 – положительное число, а значит больше нуля. В первом неравенстве выразим «х», получим:

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Система имеет решение при \(x = 12\). Запишем ответ.

Ответ: 12.

Если a < 0, то решений нет

Например, решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = \ –6\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ –6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Второе неравенство не имеет смысла, поэтому вся система не имеет решений.

Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)

То, что мы с вами сейчас сделали будет верно для любого корня четной степени. Если корень будет нечетной степени у нас всегда будут решения, даже если справа будет стоять отрицательное число.

Если \(\text{n\ }\)– нечетное число, то:

\(\sqrt[n]{f(x)} = a \Leftrightarrow f(x) = a^{n}\)

Решим уравнение:

\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)

1. Видим корень нечетной степени – сразу возводим в эту степень обе части:

\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)

\(3x = \ –216\)

\(x = \ –72\)

2. Записываем ответ. Уравнение не имеет никаких ограничений.

Ответ: –72.

ВТОРОЙ ТИП ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «КОРЕНЬ=КОРЕНЬ»:

\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)

Решение:

Если и слева и справа будет стоять корень алгоритм остается тот же: записываем ОДЗ и возводим обе части в квадрат.

\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) = g(x) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Решим уравнение:

\(\sqrt{–2x + 6} = \sqrt{15 + x}\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} –2x + 6 \geq 0 \\ 15 + x \geq 0 \\ –2x + 6 = 15 + x \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Преобразуем первые два неравенства относительно х и решим линейное уравнение:

\(\left\{ \begin{matrix} –2x + 6 \geq 0 \\ 15 + x \geq 0 \\ –2x + 6 = 15 + x \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3 \\ x \geq \ –15 \\ –9 = 3x \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3 \\ x \geq \ –15 \\ x = \ –3 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Система имеет решение при \(\ x = \ –3.\)

Запишем ответ.

Ответ: –3.

ТРЕТИЙ ВИД ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «КОРЕНЬ=ФУНКЦИЯ»:

\(\sqrt{f(x)} = g(x)\)

Решение:

\(\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} g(x) \geq 0 \\ f(x) = {g(x)}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = 6x\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} 6x \geq 0 \\ 3x = 6x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Выразим неравенство через х и решим уравнение:

\(\left\{ \begin{matrix} 6x \geq 0 \\ 3x = 6x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x(6x\ –\ 3) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \frac{x = 0}{x = \frac{1}{2}} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Система имеет решение при х = 0 и х = \(\frac{1}{2}\). Запишем в ответ два корня.

Ответ: 0; 0,5.

ЧЕТВЕРТЫЙ ВИД ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «КОРЕНЬ+КОРЕНЬ=ЧИСЛО»:

\(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = a\)

Решение:

Аналогично первому типу уравнения обе части возводятся в квадрат при условии, что функции неотрицательные. В таком случае число справа тоже будет неотрицательным, как сумма неотрицательных чисел:

\(\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ {(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})}^{2} = a^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы, получим:

\({(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})}^{2} = f(x) + 2\sqrt{f(x)g(x)} + g(x)\)

Перенесём все функции без корней в правую часть уравнения:

\(\left( \sqrt{f\left( x \right)} + \sqrt{g\left( x \right)} \right)^{2} = a^{2}\)

\(f\left( x \right) + 2\sqrt{f\left( x \right)g\left( x \right)} + g\left( x \right) = a^{2}\)

\(2\sqrt{f\left( x \right)g\left( x \right)} = a^{2}\ –\ f(x)\ –\ g(x)\)

\(\sqrt{f\left( x \right)g\left( x \right)} = \frac{a^{2}\ –\ f(x)\ –\ g(x)}{2}\)

Таким образом мы видим уравнение третьего вида «корень=функция» и снова возводим обе части в квадрат с определенными ограничениями:

\(\left\{ \begin{matrix} \frac{a^{2}\ –\ f(x)\ –\ g(x)}{2} \geq 0 \\ f(x)g(x) = \left( \frac{a^{2}\ –\ f(x)\ –\ g(x)}{2} \right)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Решим уравнение:

\(\sqrt{2x} + \sqrt{8x} = 6\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} 2x \geq 0 \\ 8x \geq 0 \\ {(\sqrt{2x} + \sqrt{8x})}^{2} = 6^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Выразим неравенства относительно х и решим уравнение:

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 2x + 2\sqrt{2x8x} + 8x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Преобразуем уравнение системы:

\(2\sqrt{16x^{2}} + 10x = 36\)

\(2\sqrt{16x^{2}} = 36\ –\ 10x\)

\(\sqrt{16x^{2}} = 18\ –\ 5x\)

4. Решим уравнение как уравнение вида «КОРЕНЬ = ФУНКЦИЯ»:

\(\left\{ \begin{matrix} 18\ –\ 5x \geq 0 \\ 16x^{2} = {(18\ –\ 5x)}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3,6 \\ 16x^{2} = 324\ –\ 180x + 25x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3,6 \\ 9x^{2}\ –\ 180x + 324 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 3,6 \\ x^{2}\ –\ 20x + 36 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

5. Решим квадратное уравнение через теорему Виета:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 18}{x_{2} = 2} \right.\ \)

Только \(x = 2\) является уравнением системы. Это значение переменной и запишем в ответ.

Ответ: 2.

ПЯТЫЙ ВИД ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «КОРЕНЬ – КОРЕНЬ = ЧИСЛО»:

\(\sqrt{f(x)}\ –\ \sqrt{g(x)} = a\)

Решение:

\(\sqrt{f(x)} = a + \sqrt{g(x)}\)

И решаем такое уравнение как четвертый вид «корень + корень = число».