Системы и совокупности неравенств

Системы и совокупности неравенства

Решить систему неравенств – значит найти все переменные, находящиеся на пересечении решений этих неравенств.

Решить совокупность неравенств – найти все переменные, являющиеся решением этих неравенств.

Решите неравенство:

$\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

1) Найдем решения для каждого неравенства по отдельности. Представим их визуально на числовой прямой:

$x > 2$

$x \leq 5$

2) Т.к. оба неравенства находятся в системе, нужно найти пересечение их решений:

$\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

3) Таким образом решением системы является множество переменных x таких, что:

$x \in (2;\ 5\rbrack$

Ответ: $x \in (2;\ 5\rbrack$.

Решим неравенство:

Решения отдельных уравнений этого примера будут такие же, как и в примере №1.

Но когда мы соединим их обратно в совокупность, то её решением будут не пересечение, а объединение этих решений:

$x \in (–\infty;\ + \infty)$

Ответ: $x \in (–\infty;\ + \infty)$.

$\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

1) Отметим на числовой прямой решения сразу двух неравенств:

2) Уравнения находятся в системе, значит нам нужно найти пересечения их решений. Т.к. такого пересечения нет, тогда система не имеет решений: $\varnothing$

Ответ: $\varnothing$.

$\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

1) Аналогично вынесем те же решения на одну числовую прямую:

2) В случае, когда неравенства находятся в совокупности, ответом будут все решения, отмеченные на числовой прямой. Мы видим два промежутка: все, что меньше двух и все, что больше пяти. Запишем множество x так:

$x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)$

Ответ: $x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)$.

$\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

1) Вынесем решения на числовую прямую:

2) Решением системы являются все значения x меньше или равно 2 И меньше либо равно 5. В таком случае. Когда у нас есть два знака меньше, выбираем все значения x меньше меньшего, т.е:

$\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 2$

Ответ: $x \leq 2$.

Аналогично с системой, где присутствуют два знака больше (больше или равно):

$\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

Ответом будет являться множество значений x больше большего в системе.

$\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 5$

Ответ: $x \geq 5$.

$\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

1) С совокупностью наоборот. Для первого случая ответом будет являться вся область меньше большего:

$\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 5$

Ответ: $x \leq 5$.

$\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\$

2) А для совокупности со знаками больше ответом будет больше меньшего:

$\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 2$

Ответ: $x \geq 2$.