Системы и совокупности неравенства

Решить систему неравенств – значит найти все переменные, находящиеся на пересечении решений этих неравенств.

Решить совокупность неравенств – найти все переменные, являющиеся решением этих неравенств.

Решите неравенство:

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Найдем решения для каждого неравенства по отдельности. Представим их визуально на числовой прямой:

\(x > 2\)

\(x \leq 5\)

2) Т.к. оба неравенства находятся в системе, нужно найти пересечение их решений:

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3) Таким образом решением системы является множество переменных x таких, что:

\(x \in (2;\ 5\rbrack\)

Ответ: \(x \in (2;\ 5\rbrack\).

Решим неравенство:

Решения отдельных уравнений этого примера будут такие же, как и в примере №1.

Но когда мы соединим их обратно в совокупность, то её решением будут не пересечение, а объединение этих решений:

\(x \in (–\infty;\ + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;\ + \infty)\).

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Отметим на числовой прямой решения сразу двух неравенств:

2) Уравнения находятся в системе, значит нам нужно найти пересечения их решений. Т.к. такого пересечения нет, тогда система не имеет решений: \(\varnothing\)

Ответ: \(\varnothing\).

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Аналогично вынесем те же решения на одну числовую прямую:

2) В случае, когда неравенства находятся в совокупности, ответом будут все решения, отмеченные на числовой прямой. Мы видим два промежутка: все, что меньше двух и все, что больше пяти. Запишем множество x так:

\(x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)\).

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Вынесем решения на числовую прямую:

2) Решением системы являются все значения x меньше или равно 2 И меньше либо равно 5. В таком случае. Когда у нас есть два знака меньше, выбираем все значения x меньше меньшего, т.е:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 2\)

Ответ: \(x \leq 2\).

Аналогично с системой, где присутствуют два знака больше (больше или равно):

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответом будет являться множество значений x больше большего в системе.

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 5\)

Ответ: \(x \geq 5\).

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) С совокупностью наоборот. Для первого случая ответом будет являться вся область меньше большего:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 5\)

Ответ: \(x \leq 5\).

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2) А для совокупности со знаками больше ответом будет больше меньшего:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 2\)

Ответ: \(x \geq 2\).