Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Одночлены Степени Многочлены Формулы сокращённого умножения Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Свойства степеней Разложение на множители. Группировка
Анализ функций
Функция квадратного корня Линейная функция Кусочная функция Квадратичная функция Координатная плоскость Свойства функций Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Функции
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Рациональные неравенства
Планиметрия
Трапеция Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Прямые и углы на плоскости Прямоугольник Квадрат Четыре замечательные точки треугольника Теорема Пифагора Многоугольники Площадь круга и сектора круга Элементы планиметрии Треугольники. Площади Высота Виды треугольников Простейшие расстояния на плоскости Средняя линия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Равенство фигур Симметрия Параллелограммы Медиана Окружнoсть и круг Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Ромб Биссектриса Комбинации с окружностью
Уравнения
Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль
Реальная математика
Основы математической статистики Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.