Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Уравнения
Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Числа и действия с ними
Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на отношения
Формулы и выражения
Одночлены Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Свойства степеней Многочлены Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Степени Разложение на множители. Группировка
Анализ функций
Функции Свойства функций Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Линейная функция Кусочная функция Координатная плоскость
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Высота Биссектриса Медиана Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Элементы планиметрии Равенство фигур Серединный перпендикуляр Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площади четырёхугольников Симметрия Трапеция Ромб Параллелограммы Теорема Пифагора Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Прямые и углы на плоскости Средняя линия Прямоугольник Треугольники. Площади Подобие фигур Многоугольники Квадрат Окружнoсть и круг Четыре замечательные точки треугольника

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

\(\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k\) , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}\)

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

\(\frac{А}{В} = \frac{a}{b}\) или \(\frac{H}{C} = \frac{h}{c}\)

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC\)

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

\(\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\ \)

3. По трем пропорциональным сторонам:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}\)

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

  1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).

  2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).

  3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).