Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Основы математической статистики
Формулы и выражения
Степени Буквенные выражения Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Свойства степеней
Анализ функций
Координатная плоскость Свойства функций Функция квадратного корня Линейная функция Квадратичная функция Преобразование графиков функции Функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Теорема Пифагора Прямые и углы на плоскости Ромб Серединный перпендикуляр Квадрат Биссектриса Простейшие расстояния на плоскости Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Трапеция Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Медиана Площадь круга и сектора круга Равенство фигур Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Средняя линия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Высота Виды треугольников Симметрия Параллелограммы Многоугольники Элементы планиметрии Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Комбинации с окружностью
Уравнения
Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

\(\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k\) , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}\)

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

\(\frac{А}{В} = \frac{a}{b}\) или \(\frac{H}{C} = \frac{h}{c}\)

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC\)

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

\(\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\ \)

3. По трем пропорциональным сторонам:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}\)

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

  1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).

  2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).

  3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).