Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Планиметрия
Простейшие расстояния на плоскости Равенство фигур Тригонометрия в геометрии Серединный перпендикуляр Многоугольники Средняя линия Симметрия Подобие фигур Параллелограммы Теорема Пифагора Виды треугольников Прямоугольник Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Площади четырёхугольников Элементы планиметрии Квадрат Ромб Трапеция Биссектриса Комбинации с окружностью Медиана Прямые и углы на плоскости Площадь круга и сектора круга Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Высота Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике
Уравнения
Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Вероятность
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Многочлены Свойства степеней Разложение на множители. Группировка Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены Степени
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Преобразование графиков функции Свойства функций Линейная функция Кусочная функция Функции Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость
Неравенства
Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Рациональные неравенства

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

\(\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k\) , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}\)

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

\(\frac{А}{В} = \frac{a}{b}\) или \(\frac{H}{C} = \frac{h}{c}\)

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC\)

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

\(\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\ \)

3. По трем пропорциональным сторонам:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}\)

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

  1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).

  2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).

  3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).