Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Вероятность
\(Вероятность = \frac{количество\ благоприятных\ событий}{количество\ возможных\ событий}\)
Давайте посчитаем вероятность выпадения орла при броске монеты. Назовем событие выпадения орла событием А. Тогда вероятность события А – это Р(А).
Как мы и сказали, благоприятным действием является выпадение орла. Такой исход всего один.
\(Р(А) = \frac{1}{2}\)
Вероятность может выражаться как правильной дробью, так и процентами.
\(Р(А) = \frac{1}{2} \bullet 100\% = 50\%\)
Можем сказать, что вероятность выпадения орла равна 50%, или 0,5.
Ответ: 0,5.
Теперь посчитаем вероятность выпадения решки. Пусть событие выпадения решки – это событие В. Тогда вероятность этого события – это Р(В).
Существует одно благоприятное событие и два возможных, тогда
\(Р(В) = \frac{1}{2} = 0,5\)
Ответ: 0,5.
Получается, что при броске монетки вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки. Так получается, потому
Сумма всех вероятностей всевозможных событий равна 1 (или 100%).
\(Р(А) + Р(В) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Если мы будем подкидывать очень много раз монетку и записывать, сколько раз выпал орел, то для более наглядного описания того, как часто орел выпадает, будет использоваться такое понятие как частота.
В урне 12 шаров. 3 из них – белые, 9 – черные.
а) Какова вероятность Р(А) того, что наугад из урны достанут белый шар?
в) Какова вероятность Р(С), что наугад из урны достанут серый шар?
а) Всего можно достать 3 белых шара, то есть у нас есть 3 благоприятных события. А всевозможных событий у нас 12 – это количество всех шаров, тогда:
\(Р(А) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
б) Аналогично можем посчитать вероятность Р(В). Но мы знаем, что в сумме вероятности Р(А) и Р(В) равны единице. Тогда мы можем из единицы вычесть неблагоприятные события, чтобы получить благоприятные:
\(Р(В) = 1\ –\ Р(А) = 1\ –\ \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
в) Если в урне нет серых шаров, тогда количество благоприятных событий равна 0. В таком случае:
\(Р(С) = \frac{0}{12} = 0\)
Ответ: 0,25; 0,75; 0.
Иногда, когда у нас есть комбинации результатов, приходится считать количество всевозможных комбинаций. Нахождение благоприятных и возможных событий усложняется.
Найдите вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадет сумма чисел:
б) не кратная трем.
-
Для начала нам нужно понять, какие вообще комбинации могут выпасть. У нас есть два кубика. На каждом может выпасть число от 1 до 6. На каждое число, выпавшее на одном кубике, может выпасть одно из шести чисел на втором. Представим возможные события в таблице.
Сразу видно, что всевозможных бросков у нас
\(6 \bullet 6 = 36\).
2. Найдем благоприятные события. Пусть сумма выпавших очков на костях кратна 3 – это событие А. Будем записывать в пересечение строк и столбцов сумму соответствующих очков:
-
Из всевозможных сумм выделим те, которые кратны числу 3.
Таких событий всего 12.
4. Теперь можем посчитать вероятность Р(А) по формуле вероятности:
\(Р(А) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)
б) Чтобы найти все остальные события, также используем сумму всех вероятностей. Пусть выпадение суммы на костях не кратное трем, это событие В, тогда:
\(Р(В) = 1\ –\ Р(А) = 1\ –\ \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\); \(\frac{2}{3}\).
ВЕРОЯТНОСТЬ НЕСКОЛЬКИХ СОБЫТИЙ:
Когда у нас есть вероятность нескольких событий и нам нужно посчитать, какая у них будет общая вероятность, мы используем сложение и умножение вероятностей.
1. Сложение вероятностей:
\(\mathbf{P(A) + P(B)}\)
Если возможно, что произойдет одно ИЛИ другое событие, тогда вероятности этих событий складываются. В примере №3 мы могли вытащить ИЛИ черный шар ИЛИ белый. Вытащить два шара сразу у нас не получится. Такие события называются взаимоисключающие.
Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-ого размера, равна 0,12, 45-ого – 0,04, 46-ого и больше – 0,01. Какова вероятность, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-ого размера.
1. Может быть куплена только одна из пар обуви не меньше 44-ого размера. То есть 44-ый размер ИЛИ 45 ИЛИ 46 и больше. Тогда вероятности будут складываться:
\(Р(А) = 0,12 + 0,04 + 0,01 = 0,17\)
Ответ: 0,17.
2. Произведение вероятностей:
Если возможно, что произойдет одно И другое событие вместе, тогда вероятности этих событий умножаются. Если бы мы вытягивали шары из одной корзины И из другой одновременно, тогда вероятности вынимания конкретных цветов перемножаются. Такие события называются независимыми, они происходят независимо друг от друга.
\(P\left( A \right) \cdot P(B) = P(AB)\)
Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудия соответственно равны Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,6. Какова вероятность, что стрелок сделает по одному выстрелу из каждого орудия и два раза попадет в цель?
1. Стрелок будет стрелять И из первого орудия И из второго. Тогда вероятности будут перемножаться:
\(Р(С) = Р(А) \bullet Р(В) = 0,7 \bullet 0,6 = 0,42\)
Ответ: 0,42.
ТЕОРЕМЫ, ОБЪЕДИНЯЮЩИЕ ВЕРОЯТНОСТИ НЕСКОЛЬКИХ СОБЫТИЙ:
Стоит отметить разницу между суммами вероятностей взаимоисключающих и независимых событий:
Сумма взаимоисключающих событий:
\(P(A) + P(B)\)
Сумма независимых событий:
\(P(A + B)\)
Теорема №1:
Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий.
\(P(A) + P(B) = P(A \cdot B) + P(A + B)\)
Теорема №2:
Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий.
\(P\left( A + B \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\ –\ P\left( A \right) \cdot P(B)\)
Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка по отдельности равна 0,8 и 0,3 соответственно. Найдите вероятность того, что мишень:
а) будет поражена хотя бы один раз;
1. Пусть попадание в мишень первого стрелка – это событие А. Попадание в мишень второго стрелка – событие В. Тогда \(Р(А) = 0,8,\ \ Р(В) = 0,3.\ А\) и В – независимые события.
а) Мишень будет поражена хотя бы один раз, если в цель попадет первый ИЛИ второй стрелок. Значит будем искать сумму вероятностей событий. Т.к. это события независимые, будем искать \(Р(А\ + \ В)\) по т. №2:
\(P(A + B) = P(A) + P(B)\ –\ P(A)P(B) = 0,8 + 0,3\ –\ 0,24 = 1,1\ –\ 0,24 = 0,86\)
б) Мишень будет поражена ровно один раз, если один стрелок попадет в цель, а второй нет. Можем представить это как такую ситуацию:
В мишень попал первый ИЛИ второй стрелок (\(Р(А + В)\) как в пункте а). Но т.к. эта вероятность включает в себя событие, когда в мишень попадают оба стрелка сразу, её нужно исключить, потому что нам нужно ровно одно попадание из двух. Если А и В – независимые события, тогда вероятность, что произойдут оба из этих событий равна \(Р(АВ)\). Получаем:
\(P(A + B)\ –\ P(AB) = 0,86\ –\ 0,24 = 0,62\)
Ответ: 0,86; 0,62.