Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

8 класс
Математика
Числа и действия с ними
Рациональные числа и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Округление дробей
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение Основы математической статистики Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения
Формулы и выражения
Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Буквенные выражения Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Функции Функция квадратного корня Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Координатная плоскость Свойства функций Кусочная функция
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств
Планиметрия
Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Теорема Пифагора Прямые и углы на плоскости Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Квадрат Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Четыре замечательные точки треугольника Подобие фигур Многоугольники Средняя линия Серединный перпендикуляр Медиана Симметрия Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Ромб Прямоугольник Равенство фигур Биссектриса Виды треугольников Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Элементы планиметрии Трапеция Высота
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Квадратные уравнения

Координатная прямая

Координатная прямая – это прямая, имеющая направление, начало отсчета и заданный масштаб.

Начало координат соответствует координате \(= 0\), а положительное направление указано стрелочкой.

Единичный отрезок – это расстояние между соседними делениями на координатной прямой. Единичный отрезок показывает масштаб координатной прямой.

ТОЧКА НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

  1. Любая точка, соответствующая числу на координатной прямой, имеет координату, равную этому числу.

Например:

Точка А соответствует числу 2. В таком случае говорят, что существует точка А с координатой 2 или записывают её как А(2). Если точка не обозначается буквой, можно сказать, что существует точка 2.

  1. На координатной прямой можно отмечать не только целые числа, но и дробные.

Например:

Теперь координата точки В\(\left( - \frac{3}{4} \right)\) дробная и отрицательная:

С помощью координатной прямой удобно сравнивать числа. Любое число справа будет больше, чем число слева.

ПРОМЕЖУТКИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ:

На координатной прямой можно отмечать сразу совокупность точек, входящие в тот или иной промежуток.

Числовой промежуток – это множества чисел, обозначенные на координатной прямой с помощью луча, интервала или отрезка.

Луч – это открытый числовой промежуток с помощью которого обозначается множество чисел больше или меньше какого-то числа.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(x > 2\):

Само число 2 не может быть больше себя же, поэтому точка, которой отмечается эта координата остается пустой или выколотой. Такой точке соответствует круглая скобка.

Таким образом любое число на закрашенной области соответствует заданному неравенству, а обозначить его можно как

\(x \in (2; + \infty)\)

Закрытый луч – это луч на координатной прямой, точка начала которого входит в заданный промежуток

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(x \leq 2\):

Число 2 равно самому себе, поэтому точка 2 входит в заданный промежуток. Такая точка закрашивается и называется вколотой. Такой точке соответствует квадратная скобка. Промежуток обозначается как

\(x \in (–\infty;\left. \ 2 \right\rbrack\).

Отрезок – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон, при этом точки, ограничивающие отрезок, в него входят.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(- 3 \leq x \leq 1\):

Точки -3 и 1 входят в этот промежуток и являются вколотыми. Все числа, обозначенные на координатной прямой, удовлетворяют неравенству. Такой промежуток обозначается как

\(x \in \left\lbrack - 3;1 \right\rbrack\)

Интервал – числовой промежуток, который имеют ограничения с двух сторон. Разница с отрезком заключается в том, что граничные точки НЕ входят в интервал. В интервал входит все, что между этими точками.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(- 3 < x < 1\):

Поменялись только точки, но описывается уже совсем другая математическая ситуация.

\(x \in ( - 3;1)\)

Полуинтервал – числовой промежуток, одна граница которого в него входит, а вторая нет. При чем не важно с какой стороны находится пустая точка.

Например:

Отметим на координатной прямой все значения \(0 < x \leq 2\):

Точки такого полуинтервала будут вколоты и выколоты в соответствии с условием: 0 не входит в полуинтервал – точка выколота, 2 – входит в интервал – точка вколота. Тогда полуинтервал записывается так:

\(x \in (0;\left. \ 2 \right\rbrack\)