Взаимное расположение графиков линейной функции

Взаимное расположение графиков линейной функции

График линейной функции представляет собой прямую. Если на одной координатной прямой существуют две прямые, то они, как и любые прямые на плоскости, могут пересекаться, быть параллельными друг другу или совпадать.

Рассмотрим две линейные функции:

$y = k_{1}x + b_{1\ }$ и $y = k_{2}x + b_{2}$

И их возможные расположения на одной координатной плоскости.

СОВПАДЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций совпадают при:

$k_{1} = k_{2}$

$b_{1} = b_{2}$

Например:

Графики функций $y = 3x–2$ и $y = 3x–2$ совпадают, так как

$k_{1} = k_{2} = 3\$ и $\ b_{1} = b_{2} = \ –2$

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций параллельны при:

$k_{1} = k_{2}$

$b_{1} \neq b_{2}$

Например:

Графики функций $y = –2x$ и $y = –2x + 5$ параллельны, так как

$k_{1} = k_{2} = \ –2$

$b_{1} = 0;\ b_{2} = 5 \Longrightarrow b_{1} \neq b_{2}\$

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций пересекаются при:

$k_{1} \neq k_{2}\$ и $\ b_{1} \neq b_{2}$

Например:

Графики функций $y = 2x–5$ и$\ y = \frac{1}{4}x + 2$ пересекаются, так как

$k_{1} = 2,\ k_{2} = \frac{1}{4} \Longrightarrow k_{1} \neq k_{2}$

$и$

$b_{1} = \ –5,\ b_{2} = 2 \Longrightarrow b_{1} \neq b_{2}$

При этом по определению пересекающихся прямых, они должны иметь одну общую точку. Эта будет такая точка с координатами $(x;\ y)$, которая будет принадлежать как первому, так и второму графику функций.

То есть для функций:

$y_{1} = k_{1}x_{1} + b_{1}$

$y_{2} = k_{2}x_{2} + b_{2}$

Будут соблюдаться условия:

$k_{1} \neq k_{2}\$ и $\ b_{1} \neq b_{2}$

Поэтому будет существовать точка пересечения этих графиков с координатами:

$x = x_{1} = x_{2}$

$y = y_{1} = y_{2}$

В таком случае, чтобы найти точку пересечения графиков функций без построения для функций $\mathbf{y}_{\mathbf{1}} = k_{1}x = b_{1}$ нужно:

1. Приравнять $y_{1}\ и\ y_{2},$ а значит приравнять$\ k_{1}x_{1} + b_{1}\ и\ k_{2}x_{2} + b_{2}.$

2. Так как $x_{1} = x_{2} = x$, решим уравнение

$k_{1}x + b_{1} = k_{2}x + b_{2}.$

3. Подставить найденный аргумент в любую из функций и найти её значение y. Найденная пара (x; y) будет являться координатой общей точки для данных графиков функций.

Рассмотрим данный алгоритм на примере функций, заданных на графике выше.

Найти без построений точку пересечения для графиков

$y = 2x\ –\ 5\$ и $\ y = \frac{1}{4}x + 2$

1. Игреки данных функций равны, следовательно:

$2x\ –\ 5 = \frac{1}{4}x + 2$

2. Иксы в данном уравнении равны, значит можем решить уравнение:

$\frac{7}{4}x = 7$

$x = 4$

3. Подставим x = 4 в первое уравнение, получим:

$y = 2x\ –\ 5$

$y\ = \ 2 \bullet 4\ –\ 5$

$y = 3$

Следовательно, точкой пересечения данных графиков является точка с координатами $(4;3)$, что и подтверждает наш график выше.

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Графики линейных функций пересекаются под прямым углом, если

$k_{1} \bullet k_{2} = \ –1$

$k_{1} = \ –\frac{1}{k_{2}}$

Например:

Графики функций $y = 3x–2$ и $y = \ –\frac{1}{3}x + 1$ перпендикулярны друг дугу, так как

$k_{1} \bullet k_{2} = 3 \bullet (–\frac{1}{3}) = \ –1$