Рациональные неравенства

Рациональные неравенства

Для решения рациональных неравенств применяется метод интервалов. Рассмотрим его алгоритм:

1. Переносим все слагаемые влево.
2. Раскладываем левую часть на множители.
3. Приравняем каждый множитель к нулю и выразим переменную. Эти значения переменной являются нулями функции.

• Отмечаем на координатной оси нули числителя и знаменателя (если он есть). Нули знаменателя всегда «выколотые» точки.
• Ноль функции, полученный из множителя, стоящего в четной степени, образует «петлю» на координатной прямой.

4. Определяем знак неравенства в крайнем правом промежутке (можно подставить пробную точку из каждого промежутка в преобразованное неравенство).
5. Определяем знаки в остальных промежутках, двигаясь справа налево. Для соседних промежутков, включая петлю, знаки чередуются.
6. Выбираем нужные промежутки и записываем ответ.

Решите неравенство:

$x^{2} + 8x\ –\ 5 \geq \ –5$

1. Переносим все слагаемые влево:

$x^{2} + 8x\ –\ 5 \geq \ –5$

$x^{2} + 8x\ –\ 5\ + 5 \geq 0$

$x^{2} + 8x \geq 0$

2. Раскладываем левую часть на множители:

$x^{2} + 8x \geq 0$

$x(x + 8) \geq 0$

3. Чтобы найти нули неравенства, нужно приравнять каждый множитель к 0. Получившиеся значения отметим на координатной прямой. Точки будут выколотыми или закрашенными в соответствии со строгостью знака неравенства:

$x\left( x + 8 \right) \geq 0$

$x = 0\ \ или\ \ x = \ –8$

4. Мы получили три интервала. Нам нужно найти те интервалы, на которых x будет обращать неравенство в верное. Определим знак неравенства в самом крайнем промежутке. В этот промежуток входят все числа больше, либо равные 0. Допустим, $x = \ 1$, тогда

$x\left( x + 8 \right) = \ 1(1 + 8) = 9$

9 – число положительное. Значит на самом крайнем промежутке x будет обращать выражение $x\left( x + 8 \right)\$в положительное число:

5. Все промежутки справа налево будут менять знак, переходя через точки 0 и –8. Поэтому получаются следующие знаки промежутков:

6. Неравенство $x\left( x + 8 \right) \geq 0$ должно быть больше, либо равно нулю. Значит решением такого неравенства будут положительные промежутки:

$x \in (–\infty;\ –8\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty)$

Ответ: $x \in (–\infty;\ –8\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty)$.

Решите неравенство:

${4x}^{2} + 20x + 25 > 0$

1. Все слагаемые уже перенесены влево.

2. Разложим левую часть на множители. Здесь мы видим ФСУ – квадрат суммы:

${4x}^{2} + 20x + 25 > 0$

${(2x + 5)}^{2} > 0$

3. Найдем нули функции:

${\left( 2x + 5 \right)^{2} = 0 }{2x + 5 = 0 }{2x = \ –5 }{x = \ –2,5}$

Если один из множителей стоит в четной степени, то ноль функции, образованный приравниванием этого множителя к нулю, образует «петлю». Эта петля – промежуток, который включает в себя одно число – именно этот ноль функции, в данном случае «петля» равна – 2,5:

4. Таким образом у нас появилось три промежутка. Отметим знак самого правого из них. Для удобства представим, что x = 0, т.к. 0 как раз входят в этот промежуток:

${(2x + 5)}^{2} = 5^{2} = 25$

25 – положительное число, значит и промежуток является положительным:

5. При переходе через ноль функции знак поменяется именно в петле. Тогда для самого левого промежутка знак снова станет положительным:

6. Выберем промежутки, которые обращают наше выражение в положительное:

$x \in (–\infty;–2,5) \cup (–2,5; + \infty)$

То есть наше выражение обращается в неположительное, только если $x = \ –2,5.\ \$Поэтому число $–2,5\$– единственное число, которое не идет в ответ.

Ответ: $x \in (–\infty;–2,5) \cup (–2,5; + \infty)$.

Решим неравенство:

$\frac{x^{2}(x\ –\ 5)}{x\ –\ 8} \leq 0$

1. Так как пункты 1 и 2 алгоритма уже выполнены, сразу переходим к пункту 3:

Нули числителя: $x = 0\ и\ x = 5\ \$

Нули знаменателя: $x = 8$

Отмечаем полученные точки на координатной прямой. Нули числителя будут закрашиваться в соответствии со знаком неравенства, а нули знаменателя всегда выколоты, независимо от знака.

При этом 0 на координатной прямой образует петлю аналогично примеру №2, потому что ноль функции $x = 0\$был найден через множитель $x^{2}$:

2. В крайнем правом промежутке можно рассмотреть точку $x = 10:$

$\frac{x^{2}(x\ –\ 5)}{x\ –\ 8} = \frac{10^{2}(10\ –\ 5)}{10\ –\ 8} = \frac{100 \bullet 5}{2} = 250$

После подстановки получаем, что выражение больше 0.

3. Определяем знаки в оставшихся промежутках с учетом петли:

4. Необходимо отметить промежутки, которые обращают выражение в отрицательное число или равно нулю:

т.к. само число 0 обращает всё выражение в 0, то оно тоже подходит для ответа:

$x \in \left\{ 0 \right\} \cup \lbrack 5;8)$

Ответ: $x \in \left\{ 0 \right\} \cup \lbrack 5;8)$.