Подобие фигур

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

$\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k$ , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

$\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}$

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

$\frac{А}{В} = \frac{a}{b}$ или $\frac{H}{C} = \frac{h}{c}$

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

$\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC$

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

$\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\$

3. По трем пропорциональным сторонам:

$\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}$

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).
2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).
3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).