Преобразование графиков функции

Преобразование графиков функции

Графики функций зачастую имеют не стандартный вид. Помимо привычных простых функций, таких как $y = x^{2}\ или\ y = \frac{1}{x}$ могут встречаться на первый взгляд более сложные функции, например, $y = {(3x\ –1)}^{2}$ или $y = \left| \frac{1}{x} \right|$. Чтобы построить такие графики, нужно соблюдать ряд правил преобразования функций. Каждая «сложная» функция состоит из набора таких преобразований.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если у мы знаем функцию f(x) и нам нужно построить функцию f(–x) (то есть заменить все иксы в функции на противоположные), тогда нужно отразить график симметрично относительно оси Оу, т.е. все ординаты останутся неизменными, а абсциссы поменяют знак.

Например:

Четная функция при таком изменении не изменяется, т.к. это следует из определения четной функции.

ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если у мы знаем функцию f(x) и нам нужно построить функцию –f(x) (то есть заменить все значения функции на противоположные), тогда нужно отразить график симметрично относительно оси Ох, т.е. все абсциссы останутся неизменными, а ординаты поменяют знак.

Например:

СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если у мы знаем функцию $f(x)$ и нам нужно построить функцию $f(x\ \pm \ a)$ (то есть заменить все иксы в функции на выражения $x\ \pm \ a$), тогда функцию f(x) будет двигаться вдоль оси Оx.

– Если нужно построить $f(x\ + \ a)$, то функция сдвинется влево по оси Ох на a единичных отрезков.

– Если нужно построить $f(x\ –\ a),$ то функция сдвинется вправо по оси Ох на a единичных отрезков.

Например:

Функция $y = {(x + 6)}^{2}$ будет находиться на 6 единичных отрезков левее, чем функций $y = x^{2}$, а функция $y = {(x\ –\ 2)}^{2}$ правее на 2 единичных отрезка:

ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если мы знаем функцию $f(x),$ а нам нужно построить функцию $f(x)\ \pm \ a\$(то есть прибавить к получившимся значениям функции $\pm$ a), тогда f(x) будет двигаться по оси Оу.

– Если нужно построить $f(x)\ + \ a$, то функция поднимется на a единичных отрезков вверх.

– Если нужно построить $f(x)\ –\ a$, то функция опуститься на a единичных отрезков вниз.

Например:

Функция $y = \frac{1}{x} + 5$ будет выше функции $y = \frac{1}{x}$ на 5 единичных отрезков, а функция $\frac{1}{x}\ –\ 4$ ниже на 4 единичных отрезка:

ПРОИЗВЕДЕНИЕ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если мы знаем функцию $f(x),$ а нам нужно построить функцию $f(\text{ax})\$(то есть заменяем все иксы на выражение ax), тогда функция $f(x)$ будет «сжиматься» и «растягиваться» вдоль оси Ох. При этом точки пересечения графика с осью Оу не изменяться.

– Если $a > 1$, то абсцисса каждой точки уменьшится в a раз. График «сожмется» к оси Оу

– Если $0 < a < 1,$ то абсцисса каждой точки увеличится в a раз. График «растянется» от оси Оу.

Например:

Функция $y = {(3x)}^{3}$ будет сжата в 3 раза относительно графика функции $y = x^{3}$ а функция $y = {(\frac{1}{2}x)}^{3}$ будет сжата в 2 раза:

ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если мы знаем функцию $f(x),\$а нам нужно построить функцию $\text{af}(x)$ (то есть умножить получившиеся значения функции на a), тогда функция $f(x)$ будет «сжиматься» и «растягиваться» вдоль оси Оу. При этом точки пересечения графика с осью Ох не изменяться.

– Если $a > 1,$ то ордината каждой точки уменьшится в a раз. График «сожмется» к оси Ох

– Если $0 < a < 1$, то ордината каждой точки увеличится в a раз. График «растянется» от оси Ох.

Например:

Функция $y = 2x^{2}$ будет сжата в 2 раза относительно функции

$y = x^{2}$, а функция $y = \frac{1}{2}x^{2}$ растянута в 2 раза:

МОДУЛЬ:

ИЗМЕНЕНИЕ АРГУМЕНТА

Если мы знаем функцию $f(x),$ а нам нужно построить график функции $f(|x|)$ (то есть заменяем все иксы на модуль икс), тогда график в области с отрицательными абсциссами стирается, а график в области с положительными абсциссами отражается относительно оси Оу. Функция становится четной.

Например:

ИЗЕНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если мы знаем функцию $f(x),$ а нам нужно построить график функции $|f\left( x \right)|$ (то есть берем под модуль значение функции). Тогда график в области с отрицательными ординатами отражается относительно оси Ох.

Например: