Показательные выражения и свойства показательной функции

Показательные выражения и свойства показательной функции

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

– При $a > 1$ показательная функция монотонна возрастает:

На данном графике $a = 2$.

– При $0 < a < 1\$показательная функция монотонно убывает:

На данном графике $a = 0,5.$

СВОЙСТВА ГРАФИКА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

Используя свойства степеней, можно преобразовывать и упрощать показательные выражения. Рассмотрим несколько примеров.

Найдите значение выражения.

$20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9}$

1. Представим это выражение в виде дроби:

$20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9} = \frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}$

2. Представим число 20 как произведение 5 и 4:

$\frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{{(4 \bullet 5)}^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}$

3. По свойствам степеней объединим множители с одинаковыми основаниями:

${\frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = 4}^{–3,9 + 4,9} \bullet 5^{–3,9 + 2,9} = 4^{1} \bullet 5^{–1} = \frac{4}{5} = 0,8$

Ответ: 0,8

Найдите значение выражения.

$\frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}}$

1. Раскроем скобки в числителе и сократим получившиеся степени:

$\ \frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}} = \frac{5^{\frac{45}{5}} \bullet 7^{\frac{30}{3}}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}}$

2. Представим знаменатель как произведение 5 и 7:

$\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{{(5 \bullet 7)}^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}}$

3. Сократим дробь:

$\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}} = 7$

Ответ: 7.

Найдите значение выражения.

$\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}}$

Если a = 12.

1. Для начала преобразуем выражение:

$\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}} = a^{3,21 + 7,36\ –\ 8,57} = a^{2}$

2. Когда буквенное выражение максимально преобразовано, можно подставить данные значения:

$a^{2} = 12^{2} = 144$

Ответ: 144.