Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Данный метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений позволяет наглядно определить подходящие углы без наложений друг на друга периодов (как это случается при работе с тригокругом), однако такой метод предполагает хорошие навыки работы с графиками тригофункций. Также при отборе корней этим методом нам не нужно разделять ответы на серии, достаточно посмотреть на этап решения уравнения, когда тригофункция равна числу, например $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ТРИГОФУНКЦИЙ

1. Рисуем соответствующий график тригонометрической функции.
2. Проводим прямые $y = a$, параллельные оси Ox, где $a$ – число, которому равна тригофункция.
3. Отмечаем на графике промежуток, в котором нужно найти углы.
4. Находим пересечение прямой $y = a$ с графиком в точках, которые попадают в отмеченный промежуток. Записываем углы, которые им соответствуют – это будут значения из абсцисс.

Найдите все корни уравнения

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

принадлежащих промежутку $\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack$.

1. Нам дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , тогда построим график функции $y = \sin x$:

2. Проведем прямую $y = \frac{\sqrt{3}}{2}:$

3. Выделим часть графика, попадающий в промежуток $\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack$:

4. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток $\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack$.

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Запишем ответ.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$.

Найдите все корни уравнения

$tg\ x = - 1$

принадлежащих промежутку $\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack$.

1. Нам дано уравнение $tg\ x = - 1$ , тогда построим график функции $y = \text{tg\ x}$:

2. Проведем прямую $y = - 1$:

3. Выделим часть графика, попадающий в промежуток $\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack$:

4. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток $\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack$.

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны $- \frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$. Запишем ответ.

Ответ: $\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}$.