Экономические задачи. Оптимизация

Экономические задачи. Оптимизация

Задачи на оптимизацию – это блок экономических задач, для решения которых нужно найти наиболее выгодные условия для развития какого-либо предприятия.

ЧТО ТАКОЕ ОПТИМИЗАЦИЯ:

Из самого названия блока задач понятно, что нужно найти оптимальное решение. Когда у предпринимателя есть несколько путей развития своего бизнеса, ему нужно заранее просчитать, какой из них будет приносить больше прибыли. Он может выбрать один из них, а может их комбинировать. В таком случае встает вопрос о том, как это делать, с какого варианта начать и когда перейти ко второму.

Конкретных вопросов может быть огромное количество: с какого предприятия нанимать сотрудников, с какого завода закупать детали, как распределить зарплату и так далее. Этими вопросами занимается оптимизация.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПТИМИЗАЦИИ:

Конкретных формул для решения задач на оптимизацию нет. Нужно понимать, как связаны исходные данные с целью предпринимателя. Для этого составляются функции, описывающие зависимости прибыли от поставленных условий. При этом зачастую эти условия уже заданы функцией. В таком случае нужно понимать, что от чего зависит. Как прийти к такой функции, в которой присутствуют все условия, и при этом анализ данной функции показывает оптимальный вариант.

Если условие задано не функцией, а конкретными значениями, в любом случае, нужно будет найти зависимость между ними и искомой прибылью.

В задачах на оптимизацию нередко встречаются производные. Точки максимума и минимума могут показать наибольшую и наименьшую прибыль, если функция составлена в зависимости от неё.

Александр владеет двумя кондитерскими фабриками. На фабрике А делают 100 шоколадных тортов в день или 70 фруктовых. На заводе В делают 80 шоколадных или 90 фруктовых тортов в день. При этом известно, что на потребительском рынке шоколадный торт стоит 300 рублей, а фруктовый 400. Александру нужно выбрать, какой завод будет производить шоколадные торты, а какой фруктовые, с тем условием, что завод может производить только один тип тортов в день (то есть или шоколадные, или фруктовые), но затраты на их производство одинаковые. Какую максимальную прибыль в день может иметь Александр при имеющихся данных?

1. Фруктовые торты продаются по более высокой цене, при этом за день на фабрике В их делают больше. Очевидно, что этой фабрике стоит производить фруктовые торты. Тогда за день работы фабрики Александр будет получать максимальную прибыль с этого завода в размере:

$S_{B} = 90 \bullet 400 = 36000$

2. Независимо от завода фруктовые торты на рынке продаются дороже, но на фабрике А их делают медленнее. Нужно проверить, будет ли производство фруктовых тортов на этой фабрике более выгодным, чем производство шоколадных тортов несмотря на то, что их делают меньше. Сравним доход фабрики А от производства шоколадных и фруктовых тортов:

$S_{AФ} = 70 \bullet 400 = 28000$

$S_{\text{AШ}} = 100 \bullet 300 = 30000$

$28000 < 30000$

Значит, фабрике А нужно производить шоколадные торты несмотря на то, что продаются по более низкой цене.

3. Найдем общий доход Александра за день, при условии, что фабрика А производит шоколадные торты, а фабрика В – фруктовые:

$S_{B} + S_{A} = 36000 + 30000 = 66000$

Ответ: 66000.

Конечно, в реальных ситуациях предприниматели учитывают гораздо больше факторов, таких, как себестоимость, объём спроса на конкретный вид товара, а также могут производить разные виды товара на одном заводе в определенных пропорциях.

Предприниматель увидел, что себестоимость одной единицы его продукции может быть выражена функцией $S\left( x \right) = x^{2} - 8x + 17$ тыс. рублей, где $x$ – это количество производимого в день товара. Сколько товара в день должен производить предприниматель, чтобы его себестоимость была минимальной?

1. Мы знаем, что себестоимость одной единицы его продукции может быть выражена функцией $x^{2} - 8x + 17$ тыс. рублей. Себестоимость зависит от количества товара, а это значит, что перед нами оптимизационная функция:

$S\left( x \right) = x^{2} - 8x + 17$

2. Конечно, предприниматель заинтересован в наибольшей выгоде, тогда найдем количество производимого товара в день, при котором достигается минимум функции. Для этого нужно взять производную от данной функции и исследовать её на экстремумы:

$S'\left( x \right) = 2x - 8$

$2x - 8 = 0$

$x = 4$

Посмотрим, является ли себестоимость минимальной при $x = 4$:

Действительно себестоимость будет минимальной, если производить 4 единицы товара в день. Запишем ответ.

Ответ: 4.

В этом примере мы увидели, что нужно исследовать функцию на точки экстремума и наибольшее и наименьшее значение, чтобы сделать вывод при решении оптимизационной задачи.