Аналитические методы решения

ПАРАМЕТР

Аналитические методы решения

Для решения задач с параметром необходимо уметь решать различные уравнения и неравенства.

Уравнения высших степеней

1. $ax^{2} + bx + c = 0$ – квадратное уравнение, корни можно подобрать по теореме Виета

$ax^{2} + bx + c = 0 \rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} \bullet x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\$

2. $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$ – уравнение третьей степени, корни можно подобрать по теореме Виета

$ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 \rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} = \frac{c}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3} = - \frac{d}{a} \\ \end{matrix} \right.\$

Для уравнений третьей степени корни являются делителями свободного коэффициента, поэтому решить уравнение можно подбором с последующим делением многочлена на многочлен.

Например:

$4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = 0$

Найдем корень подбором. Делители 6: $\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6$.

Подставляем делители:

$4 \bullet 1^{3} - 19 \bullet 1^{2} + 19 \bullet 1 + 6 = 10 \neq 0$

$4 \bullet \left( - 1 \right)^{3} - 19 \bullet \left( - 1 \right)^{2} + 19 \bullet \left( - 1 \right) + 6 = - 36 \neq 0$

$4 \bullet 2^{3} - 19 \bullet 2^{2} + 19 \bullet 2 + 6 = 0$, значит 2 – корень.

Поделим $4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6$ на $(x - 2)$:

Таким образом, $4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(4x^{2} - 11x - 3)$

Разложим квадратное уравнение на множители:

$4x^{2} - 11x - 3 = 0$

$D = 121 + 48 = 169$

$x_{1} = \frac{11 - 13}{8} = - \frac{1}{4}$ $x_{2} = \frac{11 + 13}{8} = 3$

Тогда: $4x^{2} - 11x - 3 = 4\left( x + \frac{1}{4} \right)\left( x - 3 \right) = (4x + 1)(x - 3)$

$4x^{3} - 19x^{2} + 19x + 6 = (x - 2)(x - 3)(4x + 1)$

После того, как разложили на множители, корни сразу же видны:

$x_{1} = - \frac{1}{4}$ $x_{2} = 3$; $x_{3} = 2$

Алгебраические методы решения

Равносильные переходы:

• Раскрытие модуля по определению

• Возведение в квадрат иррациональных уравнений