Свойства степеней

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя $n$ раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

1. Любое число в нулевой степени равно единице.

$a^{0} = 1$

2. Любое число в первой степени равно самому себе.

$a^{1} = a$

3. Единица в любой степени равна единице.

$1^{n} = 1$

4. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

$a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}$

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}$

6. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

${{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}$

7. Степень произведения равна произведению степеней

$\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}$

8. Степень частного равна частному степеней.

$\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

9. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

$a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}$

Применим эти правила для решения следующих задач.

$\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9$

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

$\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8$

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

$\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4$

Для удобства представим $1 = 1^{- 2}$ (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

$\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\$

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).