Все три слова используются для соединения двух понятий (предметов, людей, абстракций и т.д.) либо в положительном, либо в отрицательном контексте.
Both
= оба, обе
= и то, и другое
Используется перед существительными во множественном числе
Both my daughters love apricots.
Используется с прилагательными во множественном числе
Mary is both tall and slim.
НЕ используется в отрицаниях!
Когда both является подлежащим, глагол употребляется во множественном числе.
Both are awesome.
Either
= либо тот, либо другой
= любой из двух/ один из двух
Используется в отрицательных предложениях
I don’t like peaches either.
В утвердительных предложениях может употребляться с союзом or
Either you or your friend has to wash the floor.
Используется в вопросительных предложениях
Has anyone visited in either of these museums?
Когда местоимение either является подлежащим, то глагол сказуемое употребляется в единственном числе.
Either is suitable. - Любой подойдет.
Neither
= ни тот, ни другой
= никто из двух
Используется в отрицательных предложениях, НО после neither ставится глагол БЕЗ отрицания
Neither of us wanted to spend there all night.
В утвердительных предложениях употребляется с союзом nor
I need neither the red pen nor the blue one. (= I don’t need red and blue pens)
! Когда предметов больше, чем два, то вместо neither , используется местоимение none (of), которое также означает «ни один из двух, ни тот, ни другой».
None of the vases was worth buying. (=Ни одна из ваз не была достойна быть купленной. То есть ваз было больше, чем две)