Формулы сокращённого умножения

Формулы Сокращенного Умножения

Тема, которая может встретиться во многих темах, вынесенных на экзамен – ФСУ. Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение $2x^{2}y + \text{xy}^{2}$:

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это $\text{xy}$.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

$2x^{2}y + xy^{2} = xy\left( \frac{2x^{2}y}{\text{xy}} + \frac{xy^{2}}{\text{xy}} \right) = xy\left( 2x + y \right)\$

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

$- 2t^{2} - t = - t\left( 2t + 1 \right)$

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения $35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}$.

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

$35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = \left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right)$

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

$\left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} \right) + \left( 5b + b^{3} \right) = 7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b(5 + b^{2})$

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

$7a^{2}\left( 5 + b^{2} \right) + b\left( 5 + b^{2} \right) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2})$

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

$2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z$.

1. Группируем отдельные слагаемые.

$2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + (26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z)$

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только

$\left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} \right) + \left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z \right) = \left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})$

3. Выносим повторяющиеся скобки.

$\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) + 2z\left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} \right) = (13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})(1 + 2z)$

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида $ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0,\ b,\ c$ – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$

В котором $x_{1},\ x_{2}$ – корни уравнения $ax^{2} + bx + c = 0$.

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение $x^{2} + 3x - 4$

1. Определим корни уравнения $x^{2} + 3x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = 1 \\ \text{\ \ } \\ \ \text{\ \ x}_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\$

2. Подставим найденные корни в формулу $\text{\ a}x^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$. В данном случае $a = 1$.

$x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x - 4)$

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы, по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Название	Формула
Разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$
Квадрат разности	$\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
Квадрат суммы	$\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
Разность кубов	$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$
Сумма кубов	$a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$
Куб разности	$\left( a - b \right)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
Куб суммы	$\left( a + b \right)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$

Замечательным свойством этих правил является то, что, если вместо $a,b$ стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

$4m^{2} + 4mn + n^{2}$

1. Выражение похоже на квадрат суммы.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$4m^{2} + 4mn + n^{2} = \left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2}$

3. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

$\left( 2m \right)^{2} + 2 \cdot 2m \cdot n + n^{2} = \left( 2m + n \right)^{2}$

$27x^{3} - 8y^{3}$

1. Выражение похоже на разность кубов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$27x^{3} - 8y^{3} = \left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3}$

3. Воспользуемся формулой разности кубов:

$\left( 3x \right)^{3} - \left( 2y \right)^{3} = \left( 3x - 2y \right)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2})$

$25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4}$

1. Выражение похоже на разность квадратов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$25x^{2}y^{2} - p^{6}z^{4} = \left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2}$

3. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$\left( 5xy \right)^{2} - \left( p^{3}z^{2} \right)^{2} = (5xy - p^{3}z^{2})(5xy + p^{3}z^{2})$

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение $\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}}$ :

1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

$\frac{x^{2} - xy}{x^{2} - 2xy + y^{2}} = \frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}}$

2. Сократим повторяющиеся элементы.

$\frac{x\left( x - y \right)}{\left( x - y \right)^{2}} = \frac{x}{x - y}$