Иррациональные выражения

Иррациональные выражения

Преобразовывать иррациональные выражения можно разными способами. В каждом из них в той или иной степени присутствует разложение на множители, вынесение общего множителя или ФСУ (формулы сокращенного умножения).

СВОЙСТВА КОРНЕЙ:

1. $\sqrt{a} \bullet \sqrt{b} = \sqrt{\text{ab}}$

2. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

3. $\left( \sqrt{a} \right)^{n} = \sqrt{a^{n}}$

4. $\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}}$

5. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[\text{nm}]{a}$

6. $\left( \sqrt{a} \right)^{2} = a$

7. $\sqrt{a^{2}} = \left| a \right|$

8. $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$

ПОДОБНЫЕ РАДИКАЛЫ:

Корни могут называть радикалами, а подобные радикалы – это корни из одинаковых чисел. Чтобы сложить подобные радикалы, нужно вынести повторяющийся радикал как общий множитель. Например:

$\sqrt{2} + 5\sqrt{3}\ –\ 2\sqrt{3}\ –3\sqrt{2} = (5\sqrt{3}\ –\ 2\sqrt{3}) + (\sqrt{2}\ –\ 3\sqrt{2}) = (5\ –2)\sqrt{3} + (1\ –3)\sqrt{2} = 3\sqrt{3}\ –\ 2\sqrt{2}$

МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПОДКОРЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ:

По свойству корней мы знаем, что

$\sqrt{\text{ab}} = \sqrt{a} \bullet \sqrt{b}$

Поэтому при упрощении иррациональных выражений используется метод разложения на множители.

Например:

$\sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{9 \bullet 2} + \sqrt{16 \bullet 2} = \sqrt{9} \bullet \sqrt{2} + \sqrt{16} \bullet \sqrt{2}$

Корни из 9 и из 16 легко извлекаются:

$\sqrt{9} \bullet \sqrt{2} + \sqrt{16} \bullet \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

ПРИМЕНЕНИЕ ФСУ ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ:

1. Если мы видим под корнем ФСУ, то мы можем свернуть выражение на множители:

Например:

$\sqrt{4a^{2} + 4ab + b^{2}} = \sqrt{\left( 2a + b \right)^{2}} = \left| 2a + b \right|$

2. Так же в иррациональных выражениях можно заметить разность квадратов:

$(7 + \sqrt{5})(7\ –\ \sqrt{5}) = 7^{2}\ –\ \left( \sqrt{5} \right)^{2} = 49\ –\ 5 = 44$

Из-за того, что в разности квадратов оба выражения возводятся в квадрат, корень второй степени уходит.

ДРОБНЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

1. Рассмотрим выражение:

$\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$

Упростить его можно двумя способами.

• 1 Способ:

Домножим дробь на иррациональное выражение в знаменателе:

$\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{8} \bullet \sqrt{2}}{\sqrt{2} \bullet \sqrt{2}}$

Произведение двух корней можно занести под один корень:

$\frac{3\sqrt{8 \bullet 2}}{\sqrt{2 \bullet 2}} = \frac{3\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{3 \bullet 4}{2} = 6$

Ответ: 6.

• 2 Способ:

Внесем частное двух корней под один корень:

$\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\frac{8}{2}}$

Числа внутри корня можно сократить:

$3\sqrt{\frac{8}{2}} = 3\sqrt{4} = 3 \bullet 2 = 6$

Ответ: 6.

В обоих случаях получился один ответ. Разница была в ходе рассуждений. Оба способа основываются исключительно на свойствах корней.

Найдите значение выражения при $a = 8,\ \ b = 2:$

$\frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{a\ –\ 6\sqrt{\text{ab}} + 9b}$

1. Сначала упростим выражение в знаменателе. Свернем его по ФСУ:

$\frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{a\ –\ 6\sqrt{\text{ab}} + 9b} = \frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})}^{2}} = \frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})}$

2. Сократим одинаковые скобки в числителе и в знаменателе:

$\frac{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})(\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b}}$

3. Теперь подставим в выражение значения a и b:

$\frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{a}\ –\ 3\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{8} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{8}\ –\ 3\sqrt{2}}$

4. Разложим $\sqrt{8}$ на множители:

$\frac{\sqrt{8} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{8}\ –\ 3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4 \bullet 2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{4 \bullet 2}\ –\ 3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\ –\ 3\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{–\sqrt{2}} = \ –5$

Ответ: $–5$.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОРНЕЙ:

Приближенное значение корня:

Можно найти приближенное значение любого корня. Для этого предполагают, между какими числами корень может находиться.

Например:

$\sqrt{30}$

Округлим $\sqrt{30}$ до целого. Представим его как число, заключенное между какими-то натуральными числами. Мы знаем, что ближайшие значения квадратов для 30 – это 25 (квадрат 5) и 36 (квадрат 6):

$\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36}$

$5 < \sqrt{30} < 6$

Значит округление $\sqrt{30}$ в сторону 5 – это округление с недостатком, а в сторону 6 – округление с избытком. Значит целое значение $\sqrt{30} = 5$.

Подберем значение $\sqrt{30}$ до десятых. Найдем квадраты чисел 5,1, 5,2, 5,3 и т.д., пока не найдем два значения, между которыми заключено число 30.

$\sqrt{29,16} < \sqrt{30} < \sqrt{30,25}$

$5,4 < \sqrt{30} < 5,5$

Теперь мы знаем, что число $\sqrt{30}$ = 5,4 до десятков. Таким образом можно найти приближенное значение корня до любого разряда.

СРАВНЕНИЕ КОРНЯ С ЧИСЛОМ:

Чтобы сравнить корень и число, нужно возвести оба числа в квадрат:

$a > b \Longleftrightarrow a^{2} > b^{2} \Longleftrightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}$

Сравнить:

$\sqrt{98}\ и\ 9$

1. Возведем обе части в квадрат:

${(\sqrt{98})}^{2}\ и\ 9^{2}$

$98\ и\ 81$

2. Определим знак неравенства между этими числами. Для их корней знак будет таким же:

$98 > 81$

$\sqrt{98} > 9$

Если корень сравнивают с отрицательным числом, то возводить оба числа в квадрат не нужно. Любой корень всегда будет больше отрицательного числа, т.к. любое положительное число больше отрицательного:

$\sqrt{a}\ и\ b,\ при\ b < 0$

$a > 0\ по\ определению\ корня$

$b < 0 < \sqrt{a}$

$b < \sqrt{a}$