Квадратичная функция

Квадратичная функция

Графиком этой функции является парабола.

В этом виде функции $a = 1,\ \ b = 0,\ \ c = 0.$

В таком случае вершина параболы находится в точке $(0;0)$ и её ветви направлены вверх.

С изменением коэффициентов a, b и c меняется и внешний вид функции. Например:

ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ:

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ВИД ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Коэффициент a:

– При увеличении коэффициента a по модулю функция приближается к оси Оу.

– При уменьшении коэффициента a по модулю функция приближается к оси О

– При $a > 0$ ветви параболы направлены вверх.

– При $a < 0$ ветви параболы направлены вниз.

Коэффициент b:

По коэффициенту можно определить координаты вершины параболы – точки, где соединяются две её ветви.

${x_{верш} = \frac{–b}{2a} }{y_{верш} = f(x_{верш})}$

$x_{верш} = \frac{–b}{2a} = \frac{–\left( –8 \right)}{4} = 2$

$y_{верш} = f(2) = 2 \bullet 2^{2}\ –8 \bullet 2 = 8\ –\ 16 = \ –8$

Точка вершины с координатами $(2;\ –8)$

– Если a и b имеют разные знаки, тогда вершина параболы находятся справа от Oy.

– Если a и b и имеют одинаковые знаки, то вершина параболы находится слева от Oy.

Коэффициент c:

График функции пересекает ось Oy в точке $(0;c).$

График $y = 2x^{2}\ –\ 8$ пересекает ось Оу в точке (0;0).

График $y = \ –x^{2} + 3x + 5$ пересекает ось Оy в точке (0;5).

ДИСКРИМИНАНТ:

Дискриминант зависит от всех трёх коэффициентов квадратичной функции и равен:

$D = b^{2}\ –ac\$

От дискриминанта зависит, сколько корней имеет уравнение $ax^{2} + \text{bx} + c = 0$. Это значит, что эти корни являются точками пересечения параболы с осью Ох (т. к. ось Ох – это прямая $у = 0$). Получается, что дискриминант показывает, количество таких пересечений:

– При $D > 0$ парабола пересекает ось Ох два раза (уравнение имеет два корня);

– При $D = 0$ парабола пересекает ось Ох один раз – это вершина параболы (уравнение имеет один корень);

– При$\ D < 0$ парабола не пересекает ось Ох (уравнение не имеет корней).

Рассмотрим три функции и их дискриминанты:

${1.\ \ y\ = \ –\ x^{2} + 3x + 5 }{D = 9\ + 20 = 29\ > \ 0}$

${2.\ \ y = x^{2} + 8x + 16 }{D = 64\ –64 = 0}$

${3.\ \ y = 2x^{2} + 3x + 4 }{D = 9\ –32 = \ –23 < 0}$

Действительно, графики этих функций будут иметь разное количество точек пересечения с осью Ох: