Трапеция

Трапеция

$BС \parallel AD$

${AB \nparallel CD}$

ЭЛЕМЕНТЫ ТРАПЕЦИИ:

a и b ― основания трапеции, $a \parallel b$;

h ― высота трапеции (расстояние между основаниями), $h\bot a,b$

m ― средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции). Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им:

${m = \frac{a + b}{2} }{m \parallel a,\ b}$

СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ:

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°:

$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D = 180{^\circ}$

2. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам:

$\left\{ \begin{matrix} \angle CAD = \angle BCA\ как\ накрест\ лежащие \\ \angle BDA = \angle CBD\ как\ накрест\ лежащие \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}AOD\ по\ двум\ углам$

ВИДЫ ТРАПЕЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА:

1. Прямоугольная трапеция ― трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне:

боковая сторона является высотой:

$AB\bot AD,\ BC$

2. Равнобедренная трапеция ― трапеция, у которой боковые стороны равны:

углы при основаниях равны:

${\angle A = \angle D }{\angle B = \angle C}$

длины диагоналей равны:

$AC = BD$

3. Произвольная трапеция ― не является ни прямоугольной, ни равнобедренной.

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ:

1. Через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$S = \frac{a + b}{2} \bullet h$

2. Через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

$S = mh$

3. Через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.

$S = \frac{1}{2}d_{1}d_{2} \bullet \sin\gamma$