Параллелограммы

\(AB = CD,\ AD = BC\)

\(AB\ ||\ CD,\ AD\ ||\ BC\)

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

1. Противоположные стороны равны:

\(AB = CD\)

\(AD = BC\)

2. Противоположные углы равны:

\(\angle A = \angle C\)

\(\angle B = \angle D\)

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Это вытекает из параллельности противоположных сторон, так как указанные углы являются односторонними:

\(\angle BAD + \angle ADC = 180{^\circ}\)

\(\angle ABC + \angle BCD = 180{^\circ}\)

4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов. Например:

\(\angle DAC = \angle BCA\)

\(\angle CBD = \angle BDA\)

5. Две диагонали делят параллелограмм на две пары равных (по стороне и двум углам) треугольников:

\(\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}BCD\)

\(\mathrm{\Delta}ABD = \mathrm{\Delta}ACD\)

6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

\(AO = OC\)

\(BO = OD\)

Также параллелограмм обладает необычными свойствами, связанные с биссектрисами:

Пусть AL и СК – биссектрисы противоположных углов, а ВМ – биссектриса смежного с ними угла.

Тогда:

1. Биссектрисы противоположных углов параллельны:

\(AL\ ||\ CK\)

2. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны:

\(AL,\ CK\bot BM\)

3. Биссектриса параллелограмма отсекает от него два равных угла. Например:

\(\mathrm{\Delta}ABL\ - \ равнобедренный,\ т.к.\ \angle BAL = \angle BLA\)

\(\mathrm{\Delta}ABM\ - \ равнобедренный,\ т.к.\ \angle ABM = \angle AMB\)

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

Для того, чтобы доказать, что фигура действительно является параллелограммом, нужно знать, какими свойствами мы можем пользоваться. Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

\(AB\ ||\ CD\)

\(BC\ ||\ AD\)

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

\(AB\ ||\ CD,\ AB = CD\)

\(или\)

\(BC\ ||\ AD,\ BC = AD\)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

\(AB = CD\)

\(BC = AD\)

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

\(\angle DAB = \angle BCD\)

\(\angle ABC = \angle CDA\)

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

\(AO = OC\)

\(BO = OD\)

6. Сумма углов четырехугольника, прилегающих к любой стороне, равна 180°:

\(\angle ABC + \angle BCD = \angle BCD + \angle CDA = \angle CDA + \angle DAB = \angle DAB + \angle ABC = 180{^\circ}\)

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЕЛОГРАММА:

1. Через высоту и сторону

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

\(S = ah_{1} = bh_{2}\)

2. Через две стороны и угол между ними

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

\(S = ab \bullet \sin\alpha\)

3. Через диагонали и угол между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

\(S = \frac{1}{2}d_{1}d_{2} \bullet \sin\gamma\)