Функции

СУТЬ ФУНКЦИИ:

Чтобы понять суть функции, можно рассмотреть формулу периметра квадрата. Мы знаем, что периметр квадрата находится так: \(P = 4a\), где a – это сторона квадрата.

Мы можем сами подставить любую длину стороны квадрата, чтобы получить соответствующий ей периметр. Если между двумя какими-либо величинами есть такое соответствие, то между ними существует функция.

Рассмотрим это соответствие на примере квадрата:

Если \(а = 1\), то \(Р = 1 \bullet 4 = 4\)

и так далее.

Мы говорим, что чтобы получить периметр квадрата, нужно его сторону умножить на 4. Это будет верно для любой стороны квадрата, которую мы сами зададим.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЕЙ:

В нашем примере a – это переменная, P – это зависимая, а действие ( \(\bullet 4\)) – функция.

В общем виде переменную, зависимую и функцию записывают следующим образом:

\(y = f(x)\)

Она означает, что чтобы получить y, нужно преобразовать x по функции f. Такую запись можно читать как «\(y\ \)равен \(f\) от\(\ x\)».

При этом не только сама закономерность, по которой меняется \(x\), называется функцией. Для краткости функцией называют всё выражение, в котором есть зависимость. То есть мы можем сказать, что \(Р = 4a\) – это функция, хотя формально это выражение, содержащее аргумент, зависимую и функцию.

Далее, когда мы будем говорить о функции, мы будем иметь в виду целое выражение, подобно формуле площади квадрата, а не только действие преобразования аргумента.

Также каждая функция имеет свою область значений и область определения.

Например, в случае с периметром квадрата мы можем точно сказать, что сторона квадрата должна быть положительным числом. Потому что длина не может иметь отрицательное значение и не может быть равна 0, ведь в таком случае, квадрата не получится.

А если аргумент функции должен быть положительным, то при умножении положительного числа на 4 получится тоже только положительное число.

Таким образом область значений и областью определений в данном примере являются множества положительных чисел.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ:

Описать суть функции можно по-разному. Также можно по-разному описать зависимость, чтобы какую-либо функцию задать.

Рассмотрим различные способы задания одной и той же функции.

1. Словесный способ задания функции.

«У Даши есть яблоки. При этом у её старшего брата Вани всегда на два яблока больше.»

Чтобы словесно задать функцию, нужно описать, как изменяется аргумент. В данном случае в описании ситуации уже словесно задана функция словами «у Вани всегда на два яблока больше, чем у Даши». Эти слова определяют конкретную зависимость количества яблок у Вани от количества яблок у Даши.

2. Табличный способ задания функции.

Посмотрим на таблицу аргументов и зависимых от них величин.

Можем заметить, что каждый y больше своего x на 2. Эта зависимость есть у каждой из пар «аргумент – значение функции».

3. Способ задания функции формулой.

Этот способ мы рассматривали ранее через формулу периметра квадрата. Рассмотрим более общий вид функции, заданной формулой – через \(x\ \)и \(y\):

\(y = x + 2\)

По формуле мы видим, что каждый y на 2 больше, чем соответствующий ему x.

Найдите значение функции:

\(y = \frac{x\ –\ 2}{5}\) при \(x = 2;\ x = 27\).

1. Чем являются значение и аргумент функции мы знаем, это y и x. А вот именно функцией является более сложное действие – «вычесть 2, разделить на 5». Найдем значение этой функции при \(x = 2\):

\(y = f(x) = \frac{x\ –\ 2}{5}\)

\(f(2) = \frac{2\ –\ 2}{5} = \frac{0}{5} = 0\)

Таким образом мы узнали, что аргументу 2 соответствует значение функции 0.

2. Аналогично найдем значение функции при \(x = 27\):

\(f(27) = \frac{27\ –\ 2}{5} = \frac{25}{5} = 5\)

Значит аргументу 27 соответствует значение функции 5.

Ответ: 0; 5.

ГРАФИК ФУНКЦИИ:

Любую функцию можно изобразить на координатной плоскости. Если координатная плоскость состоит из точек, каждая из которой имеет две координаты, то одна координата будет равна аргументу, а вторая координата значению функция, который ей соответствует.

Из этого следует, что точка принадлежит графику некоторой функции, если её координаты равны аргументу и соответствующему ей значению функции.

Постройте график функции \(y = x + 2.\)

1. Для построения графиков удобнее всего задавать функцию таблицей. Выберем несколько любых аргументов и найдем для них значения функции:

2. У нас есть координаты для четырех точек – А\((–2;\ 0)\), В(\(0;\ 2),\) С\((3;\ 5)\), D\((6;\ 8).\) Построим их на координатной плоскости и соединим. Полученный рисунок будет являться графиком функции \(y = x + 2:\)

График функции не обязательно должен быть прямой линией. Существуют различные графики, которые выглядят совершенно по-разному.

Постройте график функции \(y = x^{2}–\ 4.\)

1. Выберем любые аргументы и найдем им соответствующие значения функции. Запишем их в таблице:

2. Построим и соединим на координатной плоскости получившиеся точки:

На данном графике мы видим что одно значение функции может быть у двух аргументов, например точки В\((–2;\ 0)\) и F(\(2;\ 0)\) или С\((–1;\ –3)\) и Е(\(1;\ –3)\) имеют разные аргументы, но одинаковые значения функции. Это не противоречит определению функции.

Для разных аргументов могут совпадать значения функции

Но при этом, НЕ может быть такой ситуации, когда одному аргументу соответствуют несколько значений функций. Так нарушается принцип соответствия и рисунок на координатной плоскости перестает быть графиком функций по определению

Для одного аргумента НЕ может существовать несколько значений функции

Например, вот такой график нельзя назвать графиком функций, потому что одному аргументу соответствует несколько значений:

Определите без построения графика, принадлежат ли точки А\((2;\ 10)\) и В(\(–3;\ 6)\) графику функций \(y\ = \ 8\ + \ x\)?

1. Точка принадлежит графику функций, если её координате x соответствует координата соответствует координата y именно как \(y\ = \ 8\ + \ x.\)

2. Определим принадлежность точки А к графику данной функции. Для этого подставим координату её абсциссы в функцию и найдем соответствующее ей значение:

\({y = 8 + x }{y\left( 2 \right) = 8 + 2 = 10}\)

Мы получили некую точку графика с координатами \((2;\ 10)\). Такие же координаты и у точки А Получается, что точка А\((2;\ 10)\) – это точка графика функции. Значит А принадлежит графику.

3. Аналогично определим принадлежность точки В к графику функции.

\({y = 8 + x }{y(–3) = 8\ –\ 3 = 5}\)

Мы получили точку графика \((–3;\ 5),\) а у точки В координаты \((–3;\ 6)\), значит тока В НЕ принадлежит графику.

Ответ: да; нет.