Элементы планиметрии

Точка и прямая — элементы планиметрии, которым трудно дать определение, поэтому их принимают за данность.

Утверждения, которые НЕ требуют доказательств, называются аксиомами.

Утверждения, которые требуют доказательств, называются теоремами.

Аксиома: через любые две точки можно провести прямую, причём только одну.

Обозначения прямой и точки: точка обозначается заглавной латинской буквой (А), прямая – двумя заглавными латинскими буквами (ВС) или маленькой латинской буквой (а).

На данном чертеже мы видим несколько точек: А, В и С. Точки В и С образуют прямую a (по аксиоме №1). Тогда мы говорим, что В и С лежат на прямой a или принадлежат ей. В математике это обозначается как $В \in а,\ С \in а$ или $В,С \in а.$ Как мы видим, точка А не лежит на прямой а, тогда А не принадлежит или $А \notin а$ .

ПРЯМАЯ:

Прямая – это линия, которую можно бесконечно долго продлевать в обе стороны. Если мы будем «отрезать» эту линию одной или двумя точками, получим уже другие элементы планиметрии - отрезок и луч.

1. Расположение прямых на плоскости:

- Две прямые могут пересекаться $(а \cap b$ ), тогда прямые будут иметь одну общую точку.

- Две прямые могут быть параллельны ( $p\| q$ ), тогда прямые не имеют общих точек.

- Две прямые могут совпадать, тогда прямые накладываются друг на друга и все их точки совпадают.

2. Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой ( $М \notin а$ ), можно провести на плоскости только одну прямую ( $М \in b)$ , параллельную данной ( $a\| b$ ):

ОТРЕЗОК:

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Например BC, CD и BD – это отрезки, лежащие на прямой а. Прямую можно продлевать бесконечно в обе стороны, а отрезки - нет.

Каждый отрезок имеет свою длину, это значит, что отрезки можно сравнивать. Зная их длину, можно сказать, какой отрезок больше, а какой меньше. Отрезки называются равными, если у них одинаковая длина.

Сравнить длину можно, если мы уже знаем, чему равна длина каждого отрезка (например, измерили линейкой) или путем наложения: если один отрезок наложить на другой, то одинаковые отрезки совпадут. Равные отрезки отмечаются одинаковым количеством черточек (АВ=СD):

ЛУЧ:

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой. Можно взять любую точку (М) на прямой (а), и, если бесконечно продлевать её только в одну сторону от этой точки, как раз получим луч.

Аксиома: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Аксиома: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный заданному неразвернутому углу, и притом только один.

Эти аксиомы позволяют сравнивать отрезки и углы в привычном нам формате рассуждений (через наложение отрезков и углов друг на друга).

УГОЛ:

Угол - фигура, состоящая из точки (вершины угла) и двух различных лучей, исходящих из этой точки (сторон угла).

Углы обозначаются греческими буквами

( $\alpha,\ \beta,\ \gamma\ldots$ ), либо по точкам, которые принадлежат лучам (сторонам угла). Например, угол α состоит из двух лучей ОА и ОВ, исходящие из одной вершины – точки О. Значит угол α может назвать углом О ( $\angle$ О) или углом АОВ ( $\angle$ АОВ)

Виды углов:

В зависимости от градусной величины выделяют 4 вида углов.

Острый угол ( $\alpha < 90⁰$ )

Прямой угол ( $\beta = 90⁰$ )

Тупой угол ( $\gamma > 90{^\circ}$ )

Развернутый угол ( $\alpha = 180{^\circ}$ )
Если два луча, которые образуют угол, лежат на одной прямой, то тогда такой угол равен 180⁰ и называется развернутым.